Trachtenbrots sætning
Trakhtenbrots sætning er en sætning om uafgøreligheden af sandheden af førsteordens logiske formler for endelige modeller. Den blev formuleret af B. A. Trakhtenbrot i 1950 [1] Dens konsekvens er eksistensen af et ubegrænset antal formler, der udtrykker betingelsen (og følgelig definitionen) af mængdens endelighed, og blandt dem er der et ubegrænset antal uafhængige. dem. [2] Dens konsekvens er også fraværet af det svageste uendelighedsaksiom (for ethvert uendelighedsaksiom er der et svagere uendelighedsaksiom) [3] .
Forklaringer
Der er en række logiske formler, der udtrykker betingelsen om et sæts endelighed, og derfor er dets definitioner, for eksempel:
- en mængde er endelig, hvis den er induktiv ;
- en mængde er endelig, hvis mængden af alle dens delmængder er ikke -refleksiv [4] ;
- en mængde er endelig, hvis den er ikke-refleksiv;
- en mængde er endelig, hvis den ikke er foreningen af to disjunkte mængder, som hver er ækvivalent med en given mængde [4] .
En konsekvens af Trachtebrots teorem er eksistensen af et ubegrænset antal af sådanne formler og fraværet af de svageste og stærkeste blandt dem. [2]
I matematisk logik anses en formel for at være stærkere end en formel , hvis den følger af, men ikke følger af .
En anden konsekvens af Trachtenbrots teorem er fraværet af det svageste uendelighedsaksiom [3] .
Noter
- ↑ Trakhtenbrot B. A. Umulighed af en algoritme for problemet med løselighed på endelige klasser // Rapporter fra USSR's Videnskabsakademi, - 1950. - V. 70, nr. 4. - P. 569-572.
- ↑ 1 2 Trakhtenbrot B. A. Definition af en endelig mængde og deduktiv ufuldstændighed af mængdelære // Izv. USSR Academy of Sciences, ser. måtte. - 1956. - T. 20, nr. 4. - S. 569-582. — URL: http://mi.mathnet.ru/izv3789
- ↑ 1 2 Kirke, 1960 , s. 330.
- ↑ 1 2 Frenkel, 1966 , s. 87.
Litteratur
- Kirke A. Introduktion til matematisk logik. - M. : IL, 1960. - 484 s.
- Frenkel A. A. , Bar-Hillel R. Fundamenter for mængdeteori. — M .: Mir, 1966. — 555 s.