Rokhlins signatursætning

Rokhlins signatursætning er en firedimensionel topologisætning . Bevist af Vladimir Abramovich Rokhlin i 1952.

Ordlyd

Antag, at en glat, lukket, enkelt forbundet 4 -manifold opfylder en af følgende ækvivalente betingelser: $M$

$M$ har en spinorstruktur .
$w_{2}(M)=0$ ; det vil sige, at den anden Stiefel-Whitney klasse er nul.
Formen af krydsene er jævn. $M$

Derefter er signaturen på dens skæringsform delelig med 16.

Noter

Ved Jahit Arfs sætning har et hvilket som helst unimodulært gitter en signatur, der er et multiplum af 8, så Rokhlins sætning indebærer kun en yderligere to, der deler signaturen. Af denne grund kaldes sætningen nogle gange for "Rokhlin 2"-sætningen.

Overfladen K3 er kompakt, firedimensionel og , og dens signatur er 16. Især delebarheden i Rokhlins sætning kan ikke forbedres. $w_{2}(M)=0$

En kompleks overflade i grad har signatur , som det ses af Friedrich Hirzebruchs sætning om slægten af manifolder . For får vi en K3-overflade . $\mathbb {CP} ^{3}$ $d$ $(4-d^{2})d/3$ $d=4$

Michael Friedmans manifold E8 er en enkelt forbundet kompakt topologisk manifold med og skæringsformen signatur 8. Det følger af Rokhlins sætning, at denne manifold ikke har en glat struktur. Især Rokhlins teorem fejler for topologiske (ikke glatte) manifolder. $w_{2}(M)=0$ $E_8$

Hvis manifolden simpelthen er forbundet (eller mere generelt, hvis den første homologigruppe ikke har 2-torsion), så svarer det til pariteten af skæringsformen. Dette er ikke tilfældet for ikke-simpelt forbundne manifolder: Enriques-overfladen er en kompakt glat 4-manifold og har en jævn skæringsform, men . $M$ $w_{2}(M)=0$ $w_{2}(M)\neq 0$

Om beviser

Rokhlins sætning kan udledes af det faktum, at den tredje stabile homotopigruppe af sfærer er cyklisk af orden 24; dette er Rokhlins oprindelige tilgang. ${\displaystyle \pi _{3}^{S))$

Det kan udledes af Atiyah-Singer indekssætningen .

Robion Kirby gav endnu et bevis.

Links

Alexander Alexandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya deuce , lektioner (del 1) + (del 2) + (del 3) på YouTube .