Plancherels sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. juli 2019; checks kræver 4 redigeringer .

Plancherels sætning er et udsagn om Fourier-transformationens egenskaber . Den hævder, at for enhver funktion, hvis kvadratmodul er integrerbar, eksisterer og er entydigt bestemt op til værdier på et sæt af mål nul en funktion, der er dens Fourier-transformation. Det blev bevist af Plancherel i 1910 [1] . Spiller en vigtig rolle i funktionsanalyse.

Ordlyd

For enhver funktion af en reel variabel , som hører til det sæt af funktioner, hvis kvadratmodul er integrerbar på intervallet , eksisterer der en funktion af den reelle variabel , som også hører til intervallet , således at $f(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$ $g(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0

Ligninger gælder også:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ venstre|f(x)\højre|^{2}dx

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0

Funktionen , som er Fourier-transformationen af funktionen , er unikt defineret op til dens værdier på et sæt af mål nul [2] . $g(u)$ $f(x)$

Se også

Noter

↑ Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo bind 30 (1): 289–33710 , DOI 100 10. BF03014877
↑ N. Wiener , R. Paley Fourier transformation i det komplekse domæne. - M., Nauka, 1964. - s. 10-11

Litteratur

C. Bochner Forelæsninger om Fourier-integraler. - M., Fizmatlit, 1962. - 360 s.