Mason-Stothers sætning

Mason-Stothers-sætningen er en analog af abc -hypotesen for polynomier . Opkaldt efter Stothers, som udgav den i 1981, [1] og Mason, som genopdagede den derefter. [2]

Ordlyd

Lade være parvise coprime polynomier over feltet, således at mindst en af dem har en ikke-nul afledet. Derefter $a(t),b(t),c(t)$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatørnavn {rad} (abc))-1.

Her er polynomiets radikal, dette er produktet af forskellige irreducerbare faktorer . For algebraisk lukkede felter er radikalet i et polynomium et polynomium af minimal grad med det samme sæt rødder som y ; i dette tilfælde er det simpelthen antallet af forskellige rødder . [3] $\operatørnavn {rad} f$ $f$ $f$ $f$ $\deg \operatørnavn {rad} f$ $f$

Eksempler

Over felter med karakteristika 0 er betingelsen om, at mindst én afledt ikke er nul, ækvivalent med, at mindst ét polynomium ikke er en konstant. Ud over karakteristiske felter er det ikke nok at kræve, at alle er ikke-konstante. For eksempel giver identiteten et eksempel, hvor , og . $a',b',c'$ $p>0$ $a,b,c$ ${\displaystyle 1+t^{p}=(1+t)^{p))$ $\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}=p$ $\deg(\operatørnavn {rad} (abc))=2$
Hvis vi tager , så får vi et eksempel, hvor lighed opnås i Mason-Stothers-sætningen, som viser, at estimatet i sætningen i en eller anden forstand er uforbedret. ${\displaystyle a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n))$
En simpel konsekvens af Mason-Stothers-sætningen er en analog af Fermats sidste sætning for funktionsfelter: hvis for parvise coprime -karakteristika over et felt, der ikke deler , og , så mindst en af nul- eller alle konstanterne. ${\displaystyle a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n))$ $a,b,c$ $n$ $n > 2$ $a,b,c$

Bevis

Det følger af betingelsen , at og . Lad os betegne . Heraf følger, at den deler sig . Da alle GCD'er er parvise coprime, deler deres produkt sig . $a+b=c$ $b'a-ba'=c'a-a'c$ $a'b-ab'=c'b-cb'$ $W=a'b-ab'$ ${\text{gcd}}(a,a'),{\text{gcd}}(b,b'),{\text{gcd}}(c,c')$ $W$ $W$

Det er også klart, at . Tværtimod: hvis , så , så dividerer , derfor (fordi for enhver ikke-konstant ). På samme måde opnår vi det , som modsiger betingelsen. $W\neq 0$ $W=0$ $a'b=ab'$ $-en$ $en'$ $a'=0$ $\deg a>\deg a'$ $-en$ $b'=0,c'=0$

Det får vi ud fra begge udsagn

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg W

Per definition har vi $W$ $\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1$

\deg {\text{gcd}}(a,a')+\deg {\text{gcd}}(b,b')+\deg {\text{gcd}}(c,c') \leqslant \deg a+\deg b-1

For ethvert polynomium er det rigtigt, at . Substituere her og substituere ind i uligheden ovenfor, får vi $P$ $\deg P-\deg \operatornavn {rad} (P)\leqslant \deg {\text{gcd}}(P,P')$ $P=a,b,c$

\deg abc-\deg(\operatørnavn {rad} (a)\operatørnavn {rad} (b)\operatørnavn {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1

det får vi

\deg c\leqslant \deg \operatørnavn {rad} (abc)-1

hvilket var det, der krævedes.

Snyder gav et elementært bevis for Mason-Stothers-sætningen. [fire]

Generaliseringer

Der er en naturlig generalisering, hvor polynomeringen erstattes af endimensionelle funktionsfelter .

Lade være et algebraisk lukket felt af karakteristisk 0, lad være en glat projektiv kurve af slægten , og lad være rationelle funktioner på sådan, at , Og lad være et sæt punkter i indeholder alle nuller og poler af . Derefter $k$ $C/k$ $g$ $a,b\in k(C)$ $C$ $a+b=1$ $S$ $C(k)$ $a,b$

\max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.

Her er graden af funktionen til graden af kortlægningen induceret fra til . $k(C)$ $C$ $P^{1}$

Dette blev bevist af Mason, og et alternativt kortere bevis blev udgivet af Silverman samme år. [5]

Der er en yderligere generalisering givet af Voloch [6] og uafhængigt af Brownawell og Musser [7] , der giver en øvre grænse for ligninger, for hvilke det er sandt, at der ikke er nogen delmængder af , der er -lineært uafhængige. Under disse antagelser beviste de det $a_{1}+\ldots +a_{n}=1$ $a_{i}$ $k$

\max\{\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\ {|S|+2g-2,0\}.

Eksterne links

Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Mason-Stothers Teorem og ABC-formodningen