Montels sætning om en kompakt familie af funktioner

Montels sætning om kompakthedsbetingelser for en familie af holomorfe funktioner eller kompakthedsprincippet:

Lade være en uendelig familie af holomorfe funktioner i domænet af det komplekse plan ; derefter, for at denne familie skal være prækompakt, det vil sige, at enhver sekvens skal kunne vælge en undersekvens, der konvergerer ensartet lokalt inde i , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at familien er ensartet afgrænset lokalt inde i . $\{f_{\alpha }(z)\}$ $D$ $z$ $f_{\alpha _{i))$ $D$ $D$

Montels sætning er generaliseret til domæner i rummet , . $D$ ${\mathbb C}^{n}$ $n>1$

Montels sætning er en konsekvens af Arzela-Ascolis sætning , skøn over afledte af en analytisk funktion (Cauchys ulighed) og adskilleligheden af ethvert domæne i . ${\mathbb C}^{n}$

Konsekvenser

En konsekvens af Montels sætning er følgende faktum: Hvis domænet ligger kompakt i domænet , så er restriktionsoperatoren til domænet D af funktioner holomorfe i G kompakt (i topologien af lokalt ensartet konvergens af funktioner). $D$ $G$
Montels sætning bruges til at bevise Riemanns konforme kortlægningssætning (den påkrævede konforme mapping søges som en, der maksimerer modulus af den afledede på et tidspunkt, og eksistensen af en sådan mapping følger af kontinuiteten af denne funktion og kompaktheden af den afledede familie af funktioner med værdier i enhedscirklen).