Mittag-Lefflers sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. marts 2015; verifikation kræver 1 redigering .

Mittag - Leffler- sætningen om nedbrydning af en meromorf funktion er en af hovedsætningerne i teorien om analytiske funktioner, som for meromorfe funktioner giver en analog til nedbrydningen af en rationel funktion til simple brøker.

Sætning

Lad en meromorf funktion have poler med hoveddele ved punkter , og lad der være segmenter af Taylor-udvidelser i potenser af . Så er der en sekvens af heltal og en hel funktion sådan, at der for alle er en nedbrydning , der konvergerer absolut og ensartet i enhver endelig cirkel . $f(z)$ $z=a_{k},|a_{1}|\leqslant |a_{2}|\leqslant \ldots \leqslant |a_{k}|\leqslant \ldots$ $g_{k}({\frac {1}{z-a_{k))})=G_{k}(z)$ $h_{k}^{(p)}=G_{k}(0)+G_{k}^{1}(0)z+\ldots +{\frac {G_{k}^{(p) }(0)}{p!}}z^{p}$ $g_{k}\left({\frac {1}{z-a_{k))}\right)$ $z$ $p_{{k}}$ $f_{{0}}(z)$ $z\neq a_{{k}}$ $f(z)=f_{0}(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left\{g_{k}\left({\frac {1}{z-a_ {k}}}\right)-h_{k}^{p_{k}}(z)\right\}$ $|z|\leqslant A$

Konsekvens

Enhver meromorf funktion kan repræsenteres som summen af en række , hvor er en hel funktion, er hoveddelene af Laurent-udvidelserne ved polerne af , nummereret i stigende rækkefølge efter deres moduli, og er nogle polynomier. $f(z)$ $f(z)=h(z)+\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(g_{n}(z)-P_{n}(z)\right)$ $h$ $g_{n}$ $f(z)$ $P_{n}$

Litteratur

Fuchs B. A. , Shabat B. V. Funktioner af en kompleks variabel og nogle af deres applikationer. - M .: Nauka, 1964. - S. 313