Lebesgues måleudvidelsessætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. september 2021; verifikation kræver 1 redigering . Indledende definitioner

Lade være en monoton ikke-aftagende funktion , venstre kontinuerlig [1] og sådan at . Lad os introducere et mål for semiring af alle intervaller af formularen i henhold til følgende regel: . Denne foranstaltning kan udvides til Borel sigma-algebraen . I dette tilfælde vil målene for huller med ender blive specificeret som følger. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty}F(x)<+\infty$ $[a,\;b)$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Her er funktionens højre grænse ved punktet (den eksisterer, fordi funktionen er ikke- aftagende). $F(a+0)$ $F(x)$ $-en$ $F(x)$

Foranstaltningen kan udvides til delmængder af Lebesgue-nummerlinjen. I dette tilfælde viser det sig - Stieltjes-målet . $m$ $\mu _{F}$

Særlige tilfælde af genereringsfunktionen : $F$

$F$ er springfunktionen. Springet er altid positivt, sættet består af et begrænset eller tælleligt antal point (skalarer). $EN$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ er en diskret foranstaltning.

Funktionen F er kontinuerlig, falder ikke monotont på , på . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ er en absolut kontinuerlig foranstaltning.

$F$ - en enkeltfunktion (f.eks. Cantors stige , hvor stigningen er 1 på hele segmentet, men næsten overalt ). Målingen er koncentreret ved funktionens vækstpunkter. $F$ $konst$

Mål ekspansionssætning

Enhver Lebesgue-Stieltjes-mål kan repræsenteres som summen af tre mål - diskret, absolut kontinuerlig og ental.

Noter

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Målteoriens elementer og Lebesgue-integralet. - Kazan: Kazan Federal University, 2016. - s. 29.