Kovalevskayas sætning

Kovalevskayas teorem om Cauchy-problemets unikke karakter og lokale løselighed for Kovalevskaya-systemet spiller en vigtig rolle i teorien om partielle differentialligninger .

Kovalevskayas system

System af partielle differentialligninger med ukendte funktioner af formen ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N))$

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\venstre(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1 }^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},...\right),

hvor , , , , , det vil sige antallet af ligninger er lig med antallet af ukendte, kaldes Kovalevskaya-systemet . Den uafhængige variabel er kendetegnet ved, at der blandt de afledte af den højeste orden af hver funktion af systemet er en ordensafledte, og systemet er opløst med hensyn til disse afledte. $x=(x_{1},...,x_{n})$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ ${\displaystyle a\leqslant n_{j))$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ $i,j=1,...,N$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

Følgende notation bruges:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ delvis x_{1}^{a_{1}}...\partial x_{n}^{a_{n}}}},

hvor ,, . _ ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Ordlyd

Hvis alle funktioner er analytiske i et område af punktet , og funktionerne er definerede og analytiske i et område af punktet , så har Cauchy-problemet en analytisk løsning i et område af punktet , som er unik i klassen af analytiske funktioner. . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ prikker ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\dots )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots,x_{n}^{0})$

Bevis

Se også

Cauchy-Kovalevskaya teorem

Litteratur

Vladimirov VS ligninger af matematisk fysik. - Moskva : "Nauka", 1981. - S. 78-79. — 512 s.