Gauss-Luc teorem

For et vilkårligt polynomium med komplekse koefficienter, der ikke er identisk konstant , hører sættet af nuller af dets afledte til polynomiets konvekse skrog af nuller . $P(z)$ $P'(z)$ $P(z)$

Om bevis

Beviset for sætningen er baseret på følgende let verificerbare udsagn: Hvis alle rødderne af polynomiet er i halvplanet , er uligheden sand i regionen: $P(z)$ ${\rm {Re}}\,z<0$ ${\rm {Re}}\,z\geq 0$

{\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0

hvoraf det følger, at alle rødder af den afledede også skal være i halvplanet . ${\rm {Re}}\,z<0$