Hamiltons sætning
De tre linjestykker, der forbinder orthocentret med hjørnerne af den spidse trekant, opdeler det i tre Hamiltonske trekanter , der har den samme Euler- cirkel ( cirkel med ni punkter ) som den oprindelige spidse trekant.
Eksempel
Hvis ortocentret af den spidsvinklede trekant ABC i den viste figur er betegnet med T , så har de tre Hamiltonske trekanter TAB , TBC og TCA en fælles Euler -cirkel ( cirkel med ni punkter ).
Forening
De tre Hamilton- trekanter i Hamiltons sætning danner det såkaldte drageøje .
Ansøgning
Hamiltons sætning bruges som en integreret del af Johnsons sætning (se figur).
Konsekvenser
- Tre linjestykker, der forbinder orthocentret med hjørnerne af en spids trekant, deler det i tre Hamilton - trekanter med lige store radier af de omskrevne cirkler.
- Radius af de omskrevne cirkler i de tre Hamiltonske trekanter er lig med radius af cirklen omskrevet omkring den oprindelige spidse trekant. Lad os kalde dem Hamilton-Johnson-cirkler.
- Radierne af de omskrevne cirkler af tre Hamiltonske trekanter har tre centre J A , J B og J C . Disse tre centre danner hjørnerne af Johnson-trekanten ΔJ A J B J C , som er lig med den oprindelige trekant Δ ABC og har parvis parallelle sider ( Johnsons sætning , se figur).
- Hvis vi trækker lige linjer parallelt med modsatte sider gennem toppunkterne i den oprindelige trekant ABC , så får vi en antikomplementær trekant svarende til den oprindelige trekant ABC , hvis toppunkter P A , P B og PC ligger på tre Hamilton-Johnson-cirkler med lige store radier (se fig.).
Bemærkning 1
Begge følger umiddelbart følger af Hamiltons sætning , hvis vi bemærker, at radius af Euler-cirklen er lig med halvdelen af radius af cirklen omskrevet omkring den samme trekant.
Bemærkning 2
- For en stump trekant omformuleres Hamiltons sætning som følger. Lad os bygge et ortocenter uden for en stumpvinklet trekant som skæringspunktet mellem dens to højder, sænket fra spidserne af to spidse vinkler til fortsættelsen af dens to sider, og fortsættelsen af den tredje højde tegnet fra spidsen af en Stump vinkel. Så danner ortocentret og to spidser af spidse vinkler en spids trekant, som Hamiltons sætning gælder for. Især vil selve den stumpe trekant være en af de tre Hamiltonske trekanter . Hjørnerne af de to andre Hamilton-trekanter er ortocentret og spidserne af to tilstødende sider, der danner en stump vinkel i en stump trekant.
- For en retvinklet trekant falder orthocenteret sammen med toppunktet for den rette vinkel, og en Hamilton-trekant falder sammen med selve denne retvinklede trekant med den korrekte radius (diameter) af den omskrevne cirkel . De resterende to Hamilton-trekanter degenererer til to ben i toppunktet af den rette vinkel. Gennem disse to ben (som gennem en trekant med to punkter - hjørner) er det muligt at tegne et uendeligt antal omskrevne cirkler med diametre, der ikke er mindre end længden af disse ben. Det vil sige, Hamiltons sætning er også formelt opfyldt i dette begrænsende tilfælde.
Eksempel
Hvis ortocentret af en spidsvinklet trekant ABC i den viste figur er betegnet med T , så vil ortocentret for en stump trekant TBC være punktet A. Går man fra den stumpe trekant TBC til den spidse trekant ABC , kan man igen bruge Hamiltons sætning .
Historie
Sætningen blev bevist af den fremragende irske matematiker og fysiker i det 19. århundrede William (William) Rowan Hamilton i 1861. Hamilton, William Rowan (1806-1865) - irsk matematiker.
Litteratur
Se også