Blochs sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. april 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Blochs sætning er en vigtig sætning inden for faststoffysik , der etablerer formen for bølgefunktionen af en partikel i et periodisk potentiale. Opkaldt efter den schweiziske fysiker Felix Bloch . I det endimensionelle tilfælde kaldes denne sætning ofte for Floquet-sætningen. Formuleret i 1928.

Ordlyd

Streng formulering

Egentilstande af en-elektron Hamiltonian

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,

hvor potentialet U ( r ) er periodisk over alle vektorer R i Bravais-gitteret, kan vælges således, at deres bølgefunktioner har form af en plan bølge ganget med en funktion, der har samme periodicitet som Bravais-gitteret:

\psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,

hvor

u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

for alle R , der hører til Bravais-gitteret . Indekset n kaldes zonenummeret. Dets udseende skyldes det faktum, at for en vilkårlig fast partikelbølgevektor k kan systemet have mange uafhængige egentilstande.

Elektroniske bølgefunktioner i formen kaldes Bloch-funktioner . Men det er vigtigt at forstå, at i modsætning til Bloch-funktionerne er amplituderne ikke periodiske funktioner, da udtrykket beskriver en plan bølge . $u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ $\psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\ tekstbf{r)))$ $e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}$

Præcisering af formuleringen

Sætningen betragter en ideel uendelig krystal. Det betyder, at det ikke har nogen defekter og har translationssymmetri. I den videre konstruktion af teorien betragtes krænkelser af gitterets periodicitet normalt som små forstyrrelser. Derudover interagerer elektroner i en rigtig krystal med hinanden, hvilket bør afspejles i systemets Hamiltonian ved at tilføje det tilsvarende udtryk. I formuleringen af sætningen anvendes dog tilnærmelsen af ikke-interagerende elektroner, hvilket gør det muligt at betragte en en-partikel Hamiltonian.

Bevis

Betegn med TR operatoren for translation af en vilkårlig funktion til vektoren R . På grund af Hamiltonianerens periodicitet har vi:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .

Således pendler operatøren for translation til en vilkårlig vektor af Bravais-gitteret med systemets Hamiltonian. Derudover pendler oversættelsesoperatorer til vilkårlige to vektorer med hinanden:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hat {T} }_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} + \mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).

Det følger af kvantemekanikkens grundlæggende sætning, at i dette tilfælde kan tilstandene for Hamiltonian H vælges på en sådan måde, at de samtidig er egentilstande for alle operatorer TR :

{\hat {H}}\psi =E\psi ,

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .

Egenværdierne c ( R ) er relateret af relationen c ( R ) c ( R' )= c ( R + R' ), da på den ene side:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R } ){\hat {T))_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,

med en anden:

{\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R } +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .

Lad a i være de tre hovedvektorer af Bravais-gitteret. Vi kan altid repræsentere c ( a i ) som

c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i)).

For en vilkårlig vektor R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 , er ligheden sand:

c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2} }*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},

svarende til ligheden , hvor hvor b i er reciproke gittervektorer, der opfylder relationen $c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }$ $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3} \,,$

\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.

Således kan egenværdierne ψ af Hamiltonian H vælges på en sådan måde, at for hver vektor R i Bravais-gitteret gælder ligheden:

{\hat {T))_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R} } } )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),

hvilket nøjagtigt svarer til sætningens påstand.

Se også

Litteratur

N. Ashcroft, N. Mermin. Faststoffysik. Bind 1. Kapitel 8.