Stress tensor

Spændingstensor (nogle gange Cauchy spændingstensor , spændingstensor ) er en tensor af anden rang, der beskriver mekaniske spændinger på et vilkårligt punkt af et belastet legeme, der opstår på dette tidspunkt med dets (kroppens) små deformationer. I tilfælde af et volumetrisk legeme skrives tensoren ofte som en 3×3 matrix:

{\boldsymbol {\sigma }}=\venstre[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\venstre[{\begin {matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _ {31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{ xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _ {zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]

og i tilfælde af et todimensionelt legeme (se eksemplet nedenfor) med en 2×2 matrix:

{\boldsymbol {\sigma }}=\venstre[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{( \mathbf {e} _{2})}\\\end{matrix}}\right]=\venstre[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _ {21}&\sigma _{22}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}\\\sigma _ {yx}&\sigma _{yy}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _ {yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]

hvor er den mekaniske spændingsvektor, der virker på overfladen . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(e_{n)))))$ ${\displaystyle e_{n))$

I tilfælde af en matrixnotation (i det kartesiske koordinatsystem ) beskriver mængderne (komponenterne af spændingstensoren) de spændinger, som kroppen oplever på et givet tidspunkt. På dette tidspunkt tegnes spekulative planer med normaler , , ... Normalkomponenterne af de kræfter, der virker på disse planer, er skrevet på hoveddiagonalen , , ..., og i de resterende positioner er der tangentielle komponenter , , . .. af spændingsvektorerne på disse planer. $\sigma_{ij}$ $\color {Rød}e_{1}$ $\color {Rød}e_{2}$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\tau _{yx}$ $\tau_{xy}$

I tilfælde af store deformationer (endelige deformationer) skal man bruge fremgangsmåder som Piola-Kirchhoff- spændingstensoren , Biot-tensoren eller Kirchhoff-spændingstensoren .

Den fysiske betydning af stresstensoren som et eksempel i det todimensionelle tilfælde

Den enkleste illustration, der gør det muligt at forstå den fysiske betydning af stresstensoren, er sandsynligvis ikke at overveje tilfældet af stress i et volumetrisk legeme, men tværtimod at betragte stress i et fladt todimensionelt legeme. For at gøre dette skal du overveje belastningen af et stykke stof under en ekstern belastning (se fig. A ).

Figuren viser et rektangulært stykke stof under ekstern belastning, som er afbildet med sorte pile langs rektanglets omkreds. I dette tilfælde kan belastningen strække den med dine hænder i forskellige retninger eller strække stoffet på en kompleks form.

Det er intuitivt klart, at på grund af formen, orienteringen af molekylerne, atomlagene og forskellig vævning af fibrene (i fig. A er fibrenes placering skematisk vist med et fint gråt gitter) på forskellige punkter i stoffet , spændingen vil være anderledes: et eller andet sted vil der være områder, der udsættes for lodret strækning , og i andre områder vil fibrene opleve forskydningsspændinger .

Hvert punkt på overfladen af et stykke stof har sin egen unikke stressværdi. Det betyder, at hvert punkt af stoffet svarer til sit eget matematiske objekt - en tensor af anden rang. $\mathbf {T}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T}$

For at forstå, hvordan tensoren viser stresstilstanden på ethvert punkt i stoffet, kan du lave et lille snit på det punkt og observere, i hvilken retning disse snit vil afvige. Så i fig. Og vi lavede to snit på forskellige steder i stoffet: Retningen af det ene snit er vist med den røde stiplede linje, retningen af den anden er vist med den blå stiplede linje. For matematisk at beskrive retningen af disse snit bruges en normalvektor (en vektor vinkelret på snitplanet). Så for et snit er normalvektoren rød og rettet vinkelret på snitplanet; for et snit er situationen den samme. Vækstretningen af riven i vævet er angivet med lilla vektorer . $\mathbf {T}$ $\color {rød}c$ $\color {blå}c$ $\color {rød}c$ $\color {rød}{\vec {c}}$ $\color {blå}c$ $\color {RødViolet}{\vec {t))$

For at forudsige, hvor snittet vil udvikle sig, bruges kun stresstensoren. Matematisk ville denne forudsigelse se sådan ud:

Definer en "tensorfunktion", hvis argumenter er koordinaterne for punkter inde i kroppen, og hvis værdi er en tensor, der beskriver stresstilstanden på et givet punkt i kroppen. $f(x,y)=\mathbf {T_{x,y)) ,$
Vælg for eksempel et punkt i kroppen, og få fra det en tensor, der beskriver stresstilstanden i punktet $(x_{0},y_{0}),$ $f(x,y)$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} .$
Bestem retningen af det plan , hvori kroppen skal skæres. $\color {rød}{\vec {c}}$
Multiplicer retningen af snittet i et punkt med spændingstensoren i et givet punkt , som i matematisk notation ser ud som $\color {rød}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}}$ ${\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} \color {rød}{\vec {c}}}=\color {RødViolet}{\vec {t}}.$
Vektoren og vil vise, hvor snittet vil strække sig i punktet . $\color {RødViolet}{\vec {t))$ $\color {rød}{\vec {c}}$ $(x_{0},y_{0})$

Skæringerne og er vektorer, og spændingen i et punkt er en tensor. $\color {rød}{\vec {c}}$ $\color {blå}{\vec {c}}$ $\mathbf {T}$

Det skal forstås, at snit i flere retninger, der foretages på det samme punkt på kroppen, vil resultere i en anden reaktion af vævet. Dette fænomen er vist i fig. B , hvor væksten af vævsruptur forekommer i forskellige retninger og med forskellig intensitet , som reaktion på forskellige retninger af de indledende snit og lavet på samme punkt. $\color {RødViolet}{\vec {t))$ $||{\color {RødViolet}{\vec {t))}||$ $\color {rød}{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$

Blot for at beskrive en sådan kompleks adfærd, bruges tensorer, som i dette tilfælde tjener som vektorfunktioner defineret ved hvert punkt af et vævsstykke, som sætter alle mulige retninger af snit i overensstemmelse med alle mulige retninger for yderligere vævsbrud. $f_{x_{0},y_{0}}({\vec {c}})=\mathbf {T_{x_{0},y_{0}}} {\vec {c}}={ \vec{t}}$ $(x_{0},y_{0})$ ${\vec {c}}$ ${\vec {t}}$

Afledning af tensorkomponenter

Spændingstensorkomponenterne i det kartesiske koordinatsystem (dvs. ) introduceres som følger. Et uendeligt lille volumen af et legeme (kontinuerligt medium) betragtes i form af et rektangulært parallelepipedum, hvis flader er ortogonale i forhold til koordinatakserne og har områder . Overfladekræfter virker på hver side af parallelepipedet . Hvis vi betegner projektionerne af disse kræfter på aksen som , så er spændingstensorens komponenter forholdet mellem kraftprojektionerne og det område af fladen, som denne kraft virker på: $\sigma_{ij}$ $Ox_i$ $Oxyz$ $dS_{i}$ $dS_{i}$ $dF_{i}$ $okse_{j}$ $dF_{ij}$

\sigma_{ij} = \frac{ d F_{ij}}{dS_{i}}

Der er ingen summering efter indeks her. Komponenter , , også betegnet som , , er normale spændinger , de repræsenterer forholdet mellem projektionen af kraften på normalen og arealet af den betragtede flade : $jeg$ $\sigma_{11}$ $\sigma_{22}$ $\sigma_{33}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{åå}$ $\sigma_{zz}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{11} = \frac{ d F_{11}}{dS_{1}}

etc.

Komponenter , , også betegnet , , er tangentielle spændinger , de repræsenterer forholdet mellem projektionen af kraften på de tangentielle retninger og arealet af den betragtede flade : $\sigma_{12}$ $\sigma_{23}$ $\sigma_{31}$ $\tau_{xy}$ $\tau_{yz}$ $\tau_{zx}$ $dF_{i}$ $dS_{i}$

\sigma_{12} = \frac{ d F_{12}}{dS_{1}}

etc.

I mangel af et iboende vinkelmoment af et kontinuert medium, såvel som volumetriske og overfladepar, er spændingstensoren symmetrisk (den såkaldte lov om parring af forskydningsspændinger), hvilket er en konsekvens af vinkelmomentbalanceligningen . Især er spændingstensoren symmetrisk i den klassiske teori om elasticitet og i hydrodynamikken af ideelle og lineært viskøse væsker.

Stresstensoren i relativistisk fysik

Med hensyn til relativitetsteori er komponenterne i spændingstensoren de ni rumlige komponenter i energimomentumtensoren .

Spændingstensoren i klassisk elektrodynamik

I klassisk elektrodynamik har spændingstensoren af det elektromagnetiske felt ( Maxwellsk spændingstensor [1] , Maxwell spændingstensor [2] ) i International System of Units (SI) formen:

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}W,

hvor er energitætheden af det elektromagnetiske felt. $W$

Se også

Noter

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. - M .: Nauka , 1988. - S. 115. - (" Theoretical Physics ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell stresstensor // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Poyntings teorem. - S. 32-33. — 672 s. - 48.000 eksemplarer. — ISBN 5-85270-019-3 .

Litteratur

Sedov L.I. Kontinuumsmekanik. Bind 1. M.: Nauka, 1970. 492 s.
Truesdell K. Indledende kursus i rationel kontinuummekanik. M.: Nauka, 1975. 592 s.
Dimitrienko Yu. I. Ikke-lineær kontinuummekanik. Moskva: Fizmatlit, 2010.