Revolutionens faste stoffer

Omdrejningslegemer er tredimensionelle legemer, der opstår under rotationen af en flad geometrisk figur afgrænset af en kurve omkring en akse, der ligger i samme plan [1] .

Eksempler på rotationsfaste stoffer

Kugle - dannet af en halvcirkel, der roterer rundt om snittets diameter
Cylinder - dannet af et rektangel, der roterer rundt om en af siderne

For arealet af cylinderens laterale overflade tages området for dens udvikling:

S_{bok}=2\pi rh

Kegle - dannet af en retvinklet trekant, der roterer rundt om et af benene

For området af keglens laterale overflade tages området for dens udvikling:

S_{bok}=\pi rl

Samlet overfladeareal af keglen:

S_{fuld}=\pi r(r+l)

En torus er dannet af en cirkel, der kredser om en lige linje, der ikke skærer den [2]

Når figurernes konturer roteres, opstår der en omdrejningsflade (for eksempel en kugle dannet af en cirkel ), mens når en udfyldt kontur roterer, opstår der kroppe (som en kugle dannet af en cirkel ).

Volumen af revolutionslegemer

Rotation omkring x-aksen

Volumenet af kroppen dannet ved rotation omkring figurens akse, begrænset af grafen for funktionen på intervallet , aksen og rette linjer og , er lig med: $x$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{x}=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx

Rotation omkring y-aksen

Volumenet af kroppen dannet ved rotation omkring figurens akse, begrænset af grafen for funktionen på intervallet , aksen og rette linjer og , er lig med: $y$ $y=f(x)$ $[a;b]$ $x$ $x=a$ $x=b$

V_{y}=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx

Guldins sætning

Volumen og overfladeareal af omdrejningslegemer kan også findes ved hjælp af Guldin-Pappa-sætningerne , som relaterer arealet eller volumenet til figurens massecenter .

Den første Guldin-Papp-sætning siger:

Det overfladeareal , der dannes under drejningen af en linje , der ligger i et plan helt på den ene side af rotationsaksen , er lig med produktet af linjens længde og længden af cirklen gennemskåret af denne linjes massecentrum .

Den anden Guldin-Pappa-sætning siger:

Rumfanget af et legeme dannet under rotationen af en figur, der ligger helt i et plan på den ene side af rotationsaksen, er lig med produktet af figurens areal med længden af cirklen gennemskåret af midten massen af denne figur .

Litteratur

A. V. Pogorelov. "Geometri. 10-11 klasse» § 21. Revolutionslegemer. – 2011

Noter

↑ A. V. Pogorelov. §21. Revolutionslegemer // Geometri. 10-11 klasse. – 2011.
↑ Matematik. Encyklopædi for børn bind 11 ISBN 5-94623-072-7