Weyl summer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. juli 2020; checks kræver 3 redigeringer .

Weyl-summer er en generel betegnelse for trigonometriske summer af en særlig art.

Definition

Weyl- summer er summe af formen

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi if(n)))

hvor og funktionen $n\in {\mathbb {Z}}$

f(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{ 0}\in \mathbb {R} [x]

er et gradspolynomium med reelle koefficienter. Navnet "Weil sums" for trigonometriske summer af denne type blev foreslået af I.M. Vinogradov til ære for G. Weil , som først undersøgte dem i detaljer . $k$

Rationelle Weyl summer

Et vigtigt eksempel på Weyl-summer er rationelle Weyl-summer, når alle koefficienterne for et polynomium er rationelle tal. Mere præcist er rationelle Weyl- summer (modulo ) Weyl-summer med funktionen : $f(x)$ $m$ $f(x)={\frac {P_{k}(x)}{m))$

{\displaystyle \displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi i{\frac {P_{k}(n)}{m))))

hvor er et fast heltal, , og $m>1$ $n\in {\mathbb {Z}}$

P_{k}(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {Z} [x]

er et gradspolynomium med heltalskoefficienter. $k$

Eksempler på rationelle Weyl-summer

Hvis , så er den angivne sum en lineær trigonometrisk sum . $f(x)=ax$
Hvis er et primtal, så kaldes Weyl-summer med et polynomium Gauss - summer af orden , og for kaldes Gauss- summer . $m=p$ ${\displaystyle f(x)=ax^{k))$ $(k>1)$ $k$ $k=2$
Hvis er et primtal, så er der for hver , der ikke er et multiplum af , altid et tal i restfeltet, der er omvendt til : $m=p$ $n$ $s$ $\mathbb {Z} _{p}$ $n^{*}$ $n$

n^{*}n\equiv 1\mod p

, og på samme tid .

n^{*}\equiv n^{p-2}\mod p

Således kan rationelle Weyl-summer med et polynomium skrives som

P_{p-1}(n)=an^{p-1}+bn

{\displaystyle \displaystyle {\sum _{a<n\leqslant b))'e^{2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{p))))

, (primtal ved summens fortegn betyder, at summeringen udføres over alle , ikke flere ) og kaldes Kloosterman-summer .

n

s

Estimater for Weil-summer

Estimater for Weil-summer spiller en vigtig rolle i mange problemer i analytisk talteori . Der er flere metoder til at estimere Weyl-summer. Den enkleste og mest berømte af dem er Gauss-metoden.

Se også

Weyls ensartede fordelingsteorem

Litteratur

G.I. Arkhipov, A.A. Karatsuba, V.N. Tjubarikov. Teori om multiple trigonometriske summer. Moskva: Nauka, 1987.
DEM. Vinogradov. Udvalgte værker. M., 1952.