Blandet partielt derivat

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. februar 2016; checks kræver 4 redigeringer .

Definition

Lad funktionen og dens partielle afledte $z=f(x,\;y)$

{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y))

er defineret i et eller andet område af punktet . Så grænsen $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x)) -{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x)))){\Delta y)),

hvis den findes, kaldes den blandede (tilstødende) afledede af funktionen i punktet og betegnes . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x))$

Tilsvarende defineres det som ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y ))-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y)))){\Delta x)),

hvis det findes.

Blandede partielle afledte af større størrelse end to defineres induktivt.[ afklare ]

Betegnelse

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x))=f'' _{yx}=z''_{yx}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y))=f'' _{xy}=z''_{xy}$

Egenskaber

Hvis de blandede derivater er kontinuerte i et punkt, så gælder ligheden . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$

Schwartz eksempel

f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f( 0,\;0)}{\partial x\partial y))=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x} }

Det vil sige, at de blandede derivater i Schwartz-eksemplet ikke er ens.

Der er en sætning om ligheden af blandede derivater

Schwartz' sætning

Lad følgende betingelser være opfyldt:

funktioner er defineret i et eller andet område af punktet . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)),\; {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ er kontinuerlige på punktet . $(x_{0},\;y_{0})$

Så , det vil sige, at andenordens blandede derivater er ens på hvert punkt, hvor de er kontinuerte. ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$

Schwartz-sætningen om ligheden af blandede partielle derivater strækker sig induktivt til blandede partielle derivater af højere orden, forudsat at de er kontinuerte.

Kontinuitetsbetingelsen for blandede derivater er dog på ingen måde nødvendig i Schwarz' sætning.

Eksempel

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ blandede andenordens derivater er lige overalt (inklusive ved punktet ), men andenordens partielle derivater er ikke kontinuerte i punktet $(0,\;0)$ $(0,\;0)$

Bevis

Siden da $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y))(0,\;0)=0$

På andre punkter

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)){(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

På denne måde

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Følgelig,

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

På $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

Det er let at se, at den anden blandede afledte har en diskontinuitet ved , da $(0,\;0)$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;x)=1$ og f.eks.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Noter

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. Kapitel 5. Funktioner af mange variable // Matematisk analyses forløb. - 2. udg. - M. : MIPT, 1997. - S. 283. - 716 s. — ISBN 5-89155-006-7 .