Zermelo-Frenkel system

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. juni 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Systemet af aksiomer i Zermelo-Fraenkel ( ZF ) er den mest udbredte version af aksiomatisk mængdeteori , som er de facto-standarden for matematikkens grundlag . Formuleret af Ernst Zermelo i 1908 som et middel til at overvinde mængdeteoriens paradokser og forfinet af Abraham Frenkel i 1921 .

Valgaksiomet føjes ofte til dette system af aksiomer , og kaldes Zermelo-Fraenkel-mængdeteorien med valgaksiomet ( ZFC , engelsk Zermelo-Fraenkel-mængdeteori med valgaksiom ).

Dette system af aksiomer er skrevet på sproget af førsteordens logik . Der er andre systemer; for eksempel betragter von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) systemet af aksiomer såkaldte klasser af objekter sammen med mængder og er ækvivalent med ZF i den forstand, at enhver mængdesætning (det vil sige uden at nævne klasser), der kan bevises i det ene system, kan også bevises i det andet.

ZFC-aksiomer

Aksiomerne for ZFC er følgende rækkefølge af forslag fra mængdeteori :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ betingelse for lighed af mængder ( aksiom for voluminøsitet ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\bigr )))$ eksistensen af et sæt bestående af to elementer. $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ eksistensen af en forening af elementer i et sæt. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ eksistensen af et sæt af delmængder af et sæt. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ eksistensen af en delmængde, hvis elementer opfylder en given egenskab. $C=\{b:b\in A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ eksistensen af et uendeligt sæt. ${\displaystyle A=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b \i A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ eksistensen af et funktionsbillede. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnothing)$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ for enhver klasse af ikke-skærende ikke-tomme mængder er der et sæt, der indeholder et element fra hvert sæt ( valgaksiom ). Ikke nøjagtigt: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin) A){\bigr )}{\Bigr )))$ Enhver ikke-tom klasse indeholder et sæt , hvis alle elementer ikke er elementer i klassen ( axiom of regularity ). Ikke nøjagtigt: $-en$ $b$ $EN$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

Opregningen er givet ifølge bogen Frenkel A. A., Bar-Hillel I. "Fundamentals of Set Theory".

Du kan indføre aksiom nummer 0 om eksistensen af et tomt sæt , men dette er ikke andet end en notation. Kun det enestående ved det tomme sæt er vigtigt, og det er afledt af aksiomer 1-5. Mængden {a} skal forstås som parret {a, a}. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

Artiklen under diskussion indeholder 10 udsagn (inklusive det tomme sæt-aksiom), som kan grupperes som følger.

Forklaring af ZFC-aksiomerne

Aksiomerne for ZFC inkluderer:

0) en gruppe udsagn om mængdens lighed (aksiom 1),

1) en gruppe af udsagn om eksistensen af mængder (aksiomer 0, 6),

2) en gruppe af udsagn om dannelsen af mængder fra allerede eksisterende mængder (aksiomer 2, 3, 4 og skemaer 5, 7), hvori tre undergrupper kan skelnes,

3) en gruppe udsagn om rækkefølgen af de dannede mængder (aksiomer 8, 9).

0. Kriterier for lighed af sæt i ZFC

Følgende erklæring udtrykker en tilstrækkelig betingelse for identiteten af to sæt.

Aksiom for ekstensionalitet ( Axiom of volume )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Bemærk

"Thinness Axiom" kan angives som følger: "Hvis hvert element i det første sæt tilhører det andet sæt, og hvert element i det andet sæt tilhører det første sæt, så er begge sæt identiske."

En nødvendig betingelse for identiteten af to sæt har formen og er afledt af prædikataksiomer , nemlig: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, hvor er enhver matematisk korrekt dom om , og er den samme dom, men om .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Kombinationen af den specificerede nødvendige betingelse [identitet af mængder] med aksiomet for tredimensionalitet giver følgende kriterium for lighed af mængder :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. ZFC aksiomer om eksistensen af sæt

"Volumens aksiom" ville være et ubrugeligt forslag, hvis der ikke var noget sæt, eller kun ét sæt.

De følgende to udsagn garanterer eksistensen af mindst to forskellige mængder, nemlig: a) en mængde uden noget i sig, og b) en mængde, der indeholder et uendeligt antal elementer.

1.0 Det tomme sæt aksiom

\exists A\forall b\ (b\notin A)

Bemærk

"Axiomet [om eksistensen af] en tom mængde" kan angives som følger: "Der er [mindst en] mængde uden et enkelt element."

Det er bevist, at "det tomme sæt-aksiom" svarer til udsagnet . Derfor kan et enkelt sæt få et navn. Der er to almindelige navne: og . Ved at bruge disse navne skrives det "tomme sæt-aksiom" som følger: $\exists !A\forall b\ (b\notin A)$ $-en$ $\varnothing$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 Uendelighedsaksiom

\eksisterer A\ (\varnothing \i A\ \land \ \forall b\ (b\i A\to b\cup \{b\}\i A)\ )

, hvor

{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\))

Bemærk

"Uendelighedens aksiom" kan angives som følger: "Der er [mindst et] ' uendeligt sæt ', som består af ." $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\kop \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ ldots$

Udsagnet om eksistensen af et uendeligt sæt adskiller sig fra (falskt i denne aksiomatik) udsagnet om eksistensen af " sættet af alle mængder " ( ). $\exists A\forall b\ (b\in A)$

2. ZFC aksiomer om dannelsen af sæt

De følgende fem udsagn kan kaldes aksiomer for dannelsen af mængder [fra eksisterende mængder, herunder mindst en ]. $\varnothing$ $\infty$

Hver af disse fem påstande er bygget på grundlag af en påstand , der er afledt af prædikatets aksiomer . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Disse fem udsagn kan grupperes i følgende undergrupper:

2.0) en gruppe af postulater om dannelsen af mængder ved at opregne deres elementer,

2.1) en gruppe erklæringer om oprettelse og afskaffelse af familier af sæt,

2.2) en gruppe af skemaer til dannelse af sæt ved hjælp af matematisk korrekte vurderinger.

2.0. Postulatet for dannelsen af mængder ved at opregne deres elementer: Aksiom for et par

Den enkleste måde at danne et nyt sæt [fra allerede eksisterende sæt] er at "stikke en finger" til hvert sæt, der skulle blive et element [af sættet, der dannes]. I ZFC er denne måde at danne sæt repræsenteret af et aksiom, hvor "fingerpegning" er modelleret ved hjælp af prædikatet . $=$

2.0 Par aksiom

\forall a_{1}\forall a_{2}\eksisterer c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, hvad er

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

Bemærk

"Axiomet for det [uordnede] par" kan formuleres som følger: "Ud fra hvilke som helst to sæt er det muligt at danne et" uordnet par ", dvs. et sådant sæt , hvor hvert element er identisk med et givet sæt eller et givet sæt ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Eksempler

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \\ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

Det er bevist, at "paraksiomet" svarer til udsagnet . Derfor kan et enkelt sæt få et navn . Ved at bruge det givne navn skrives "paraksiomet" som følger: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $c$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

eller

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Erklæringer om oprettelse og afskaffelse af familier af sæt

De næste to aksiomer, kaldet "sæt delmængdeaksiom" og "foreningsaksiom", kan ses som et naturligt supplement til "paraksiom". For at bekræfte dette bemærker vi følgende.

Det er kendt, at hvert sæt har undersæt , herunder [kopi af det tomme sæt] og [kopi af selve sættet] . Med andre ord, $z$ $\varnothing$ $z$

\forall z\eksisterer x\eksisterer y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

Styret af "par-aksiomet" kan man danne et uordnet par fra de navngivne delmængder . Lad os kalde dette par en familie . ${\displaystyle \{\varnothing ,z\))$ $Fam_{2}(z)$

Hvis det er muligt at danne en familie fra to delmængder af sættet , så er det muligt at erklære dannelsen af en familie fra alle delmængder af sættet . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

For at erklære dannelsen af en familie er det tilstrækkeligt at kræve, at hvert element i den navngivne familie er en delmængde af mængden , og hver delmængde af den navngivne mængde er et element af familien . Med andre ord,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, hvilket er det samme som at tilbyde

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, hvilket indebærer et tilbud

\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, hvilket er et særligt tilfælde af udsagnet

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Hvis stiftelsen af en familie kan erklæres, så kan ophævelsen af den navngivne familie erklæres. $Fam_{a}(z)$

Forskellige måder at afskaffe familien på er tænkelige , herunder:

Fam_{a}(z)

1) dens fuldstændige afskaffelse (destruktion), det vil sige , hvilket svarer til

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) dens fiktive afskaffelse (forbehold), det vil sige , som svarer til

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) dens omvendte afskaffelse (opløsning), det vil sige , hvilket svarer til

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Fordi

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z ))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))

, for så vidt angår forslaget

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

er ensbetydende med et tilbud

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, hvilket indebærer et tilbud

\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, hvilket er et særligt tilfælde af udsagnet

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

Det følger af det foregående, at erklæringerne og betinget kan anses for uafhængige. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 Sættet af undersæt aksiom (boolsk aksiom )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

hvad er hvor

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

Bemærk

"Axiomet for sættet af delmængder" kan formuleres som følger: "Fra ethvert sæt er det muligt at danne en "superheap", det vil sige et sæt bestående af (korrekte eller ukorrekte) delmængder af en given mængde ." $-en$ $d$ $b$ $-en$

Eksempler

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, fordi

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ eksisterer d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Det er bevist, at "aksiomet for sættet af delmængder" svarer til udsagnet . Derfor kan et enkelt sæt få et navn , der udtales: "sættet af alle delmængder af [sæt] " eller " boolske [mængder] ". Ved at bruge det givne navn skrives "sæt af delmængdeaksiom" som: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $-en$ $-en$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

eller

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Foreningsaksiomet

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, hvad er

\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

Bemærk

Foreningsaksiomet [af mængder] kan formuleres som følger: "Fra en hvilken som helst familie af mængder kan man danne en "dynge-lille", det vil sige et sådant sæt , hvor hvert element tilhører mindst ét sæt af denne familie ". $d$ $c$ $b$ $-en$

Eksempler

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Højrepil \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ eksisterer d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Højrepil \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Højrepil \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

Det er bevist, at unionsaksiomet svarer til propositionen . Derfor kan et enkelt sæt få et navn , der udtales: " foreningen af en families sæt ". Ved at bruge det givne navn skrives unionsaksiomet som følger: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ $\cup \,a$ $-en$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

eller .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

Foreningen af familiens sæt ( ) må ikke forveksles med skæringspunktet mellem familiens sæt ( ) , som er kendt: $-en$ $\cup a$ $-en$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, det er

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Skemaer til dannelse af sæt ved hjælp af matematisk korrekte vurderinger

Blandt matematiske udsagn er der forbindelsesaksiomer, herunder:

a) aksiomet for forbindelsen mellem en algebraisk operation (add) og en algebraisk operation (multiplicere) $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) aksiomet for forholdet mellem ordensrelationen (mindre end eller lig med) og den algebraiske operation (add) $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ til x+z\leq y+z))

De næste to udsagn, kaldet "udtrækningsskema" og "transformationsskema", er aksiomer for forbindelse mellem mængder (for eksempel mængde ) og matematisk korrekte udsagn (for eksempel påstand ). $\{0,1\}$ $x\leq 0$

"Udvælgelsesskema" og "transformationsskema" udtrykker følgende enkle idé: "Enhver matematisk korrekt bedømmelse af elementerne i ethvert sæt fører til dannelsen af [det samme eller et andet] sæt."

Matematisk korrekte vurderinger, der optræder i "udvælgelsesskemaet", tillader "at bringe [til en præsentation]" de sæt, der er dannet, for eksempel ved hjælp af det boolske aksiom.

Matematisk korrekte vurderinger, der vises i "transformationsskemaet", giver dig mulighed for at oprette "[matematiske] produkter" fra ["grove"] sæt dannet, for eksempel ved hjælp af det boolske aksiom.

2.2.0 Udvælgelsesskema

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, hvad er , hvor er enhver matematisk korrekt bedømmelse om , men ikke om mængden og ikke om mængden .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

-en

c

Bemærk

Skemaet for udvælgelse af [delmængder] kan formuleres som følger: "Fra hvert sæt kan man vælge [mindst et] undersæt ved at foretage en bedømmelse af hvert element i dette sæt ." $c$ $\Phi$ $b$ $-en$

Eksempler

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\venstrepil x\neq x)\Højrepil \forall a\eksisterer c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\venstrepil x\i y)\Højrepil \forall a\eksisterer c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\\land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\venstrepil x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\\land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \ forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \eksisterer u\eksisterer v\ (u\i U\ \land \ v\i V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Højrepil \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{aligned}}

Det er bevist, at udvælgelsesordningen svarer til erklæringen . Derfor kan en enkelt delmængde gives et navn . Ved at bruge det angivne navn skrives tildelingsordningen som følger: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $c$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

eller

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\))

Udvælgelsesskemaet svarer til et tælleligt sæt aksiomer.

2.2.1 Konverteringsskema

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, hvad er

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\\ land \ \phi [b,c])\}\ )

Bemærk

[sæt]-transformationsskemaet kan formuleres som følger: "Enhver mængde kan transformeres til [den samme eller en anden] mængde ved at udtrykke enhver sand matematisk korrekt funktionel bedømmelse om alle elementer i dette sæt ." $d$ $\phi$ $b$ $-en$

Eksempler

1.\ (\phi [x,y]\venstrepil y=x)\Højrepil \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\\ land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Højrepil \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}

3.\ (\phi [x,y]\venstrehøjrepil y=f(x))\Højrepil \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in) a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ eksisterer d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\i \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1}) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{aligned}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ eksisterer b \ (b \i \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \i \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ leftrightarrow \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\venstrehøjrepil (x\i {\mathbb {N))\ \land \ x<2\til y=x)\ \land \ (x\ i {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\til y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Højrepil \eksisterer d\ forall c(c\in d\leftrightarrow \eksisterer b(b\i {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\i {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\til c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned} }

Det er bevist, at sættet i transformationsordningen er unikt. Derfor kan det angivne sæt få navnet . Ved at bruge det angivne navn skrives transformationsskemaet som følger: $d$ ${\displaystyle \{y\kolon \eksisterer x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\kolon \exists x\ (x\in a\ \land\ \phi [x,y])\}\venstrehøjrepil \eksisterer b\ (b\i et\ \land \ \phi [b,c])\ )

eller

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \\phi [x,y] )\}=\{c\kolon \eksisterer b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

Transformationsskemaet svarer til et tælleligt sæt aksiomer.

3. ZFC-aksiomer om rækkefølgen af sæt

De næste to udsagn definerer rækkefølgen af de mængder, der er dannet ud fra og hver ved hjælp af aksiomer for mængdedannelse. $\varnothing$ $\infty$

3.0 Axiom for regularitet

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Bemærk

"Axiom of Regularity" kan angives som følger: "I enhver familie af sæt er der [mindst en] mængde , hvor hvert element ikke tilhører den givne familie ." $b$ $c$ $-en$

Eksempler

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ til c\notin \{x\})\ )\\\ \venstrehøjrepil \eksisterer b\ (b\i \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\til c\notin b))\Højrepil \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a \to a\neq b)\end{aligned}}

Sammenlign med udsagn og , og også .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\ikke <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}

Sammenlign med udsagn og .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\to b\ikke <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Højrepil \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ til c\notin a)\end{aligned}}

Sammenlign med udsagn og .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\ikke <a)

3.1 Valgets aksiom

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing)\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

Bemærk

"Valgaksiomet" kan formuleres som følger: "Fra en hvilken som helst familie af ikke-tomme parvis disjunkte sæt kan man vælge en "delegation", det vil sige et sæt , der har et element fra hvert sæt af denne familie ." $d$ $c$ $b$ $-en$

Eksempel Antag, at familien er dannet af mængden af ikke-negative lige tal og mængden af ikke-negative ulige tal. I dette tilfælde er alle betingelserne for "valgets aksiom" opfyldt, nemlig:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Derfor er det muligt at danne mindst én "delegation" bestående af én "delegeret" (for eksempel tallet nul) fra sættet og én "delegeret" (for eksempel nummer et) fra sættet . Virkelig:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\))

{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\))

Noter

1. Hvis ZFC er konsistent, så kan dens konsistens ikke bevises ved hjælp af ZFC, ifølge Gödels anden sætning .

Historisk baggrund

Tilsyneladende bestod den originale version af mængdelæren, bevidst kaldet læren om mængder af den tyske matematiker Georg Cantor , af to aksiomer, nemlig:

1) volumenaksiomet , som giver os mulighed for at formulere et kriterium for ligheden af mængder ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "aksiomer for matematisk frihed" , som giver dig mulighed for at oprette sæt ved hjælp af "frihedens dom" .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

"Axiom of Mathematical Freedom" har rationelle konsekvenser, herunder følgende:

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

I 1903 henledte den engelske filosof Bertrand Russell opmærksomheden på følgende:

1) styret af "aksiomet for matematisk frihed", er det umuligt at skelne mellem "frihed" og "permissivitet", 2) ved at vælge som den mest trivielle matematiske proposition , får vi en erklæring om eksistensen af "et sæt af alle sæt" , hvorfra der er "et trin" til Russells paradoks .

\Phi [a,c]

c=c

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

Disse kritiske udtalelser om "den tyske doktrin [om mængder]" fik den tyske matematiker Ernst Zermelo til at erstatte "aksiomet for matematisk frihed" med dets konsekvenser, der ikke ville forårsage protester fra matematikere.

I 1908 publicerede Ernst Zermelo i tidsskriftet Mathematische Annalen følgende syv aksiomer:

1) volumens aksiom ( tysk Axiom der Bestimmtheit ); 2) et aksiom om eksistensen af "elementære mængder" ( tysk: Axiom der Elementarmengen ) , og som kan skrives i følgende form:

\varnothing

\{en\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\eksisterer c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) udvælgelsesordning ( tysk Axiom der Aussonderung ); 4) aksiomet for sættet af delmængder ( tysk: Axiom der Potenzmenge ); 5) samlingsaksiomet ( tysk: Axiom der Vereinigung ); 6) valgaksiomet ( tysk: Axiom der Auswahl ); 7) uendelighedsaksiomet ( tysk Axiom der Unendlichkeit ) i en formulering forskellig fra den moderne formulering.

Således blev "læren om mængder" til teorien om mængder, nemlig teorien om ZC [ Z ermelo mængdelære med valgaksiomet ] .

Det sidste aksiom i ZC-teorien (uendelighedens aksiom) bragte Georg Cantors tilhængere tættere på tilhængerne af Leopold Kronecker , der betragtede mængden af naturlige tal som matematikkens hellige gral . $\mathbb {N}$

ZC-teoriens næstsidste aksiom (valgaksiom) er blevet genstand for livlige matematiske diskussioner. Dette aksiom er faktisk ikke en konsekvens af "aksiomet for matematisk frihed".

I 1922 supplerede den tyske matematiker Abraham Frenkel og den norske matematiker Turalf Skolem ZC-teorien med et transformationsskema . Som et resultat blev ZC-teorien til ZFC-teorien [ Zermelo - Fraenkel mængdeteori med valgaksiom ] .

I 1925 supplerede den ungarske matematiker John von Neumann ZFC-teorien med aksiomet om regelmæssighed . En af konsekvenserne af dette aksiom ( ) "begravede" både "sættet af alle sæt" og " Russels paradoks ". $\forall a\ (a\notin a)$

Se også

Zermelos sætning

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematisk logik. — M.: URSS, 2005. — 240 s.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Fundamenter for mængdeteori. — M.: Mir, 1966. — 556 s.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, AzrielFundamenter for sætteori (neopr.) . — North-Holland , 1973.Fraenkels sidste ord om ZF og ZFC.
Hatcher, William. Matematikkens logiske grundlag. — Pergamon Press, 1982.
Hinman, Peter. Grundlæggende om matematisk logik. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasSet Theory: The Third Millennium Edition, revideret og udvidet . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethSætteori: Enintroduktion til uafhængighedsbeviser . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Grundlæggende sætteori. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Link, Godhard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (engelsk) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Sæteori og dens logik . — Revideret. - Cambridge, Massachusetts og London, England: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montage, Richard . Semantisk lukning og ikke-finit aksiomatiserbarhed // Infinistiske metoder. — London: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Mængdelærens aksiomer // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introduktion til aksiomatisk mængdelære. - 1982.
Tarski, AlfredPå velordnede delmængder af enhver mængde // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Bd. 32 . - S. 176-183 .

Links

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ZFC , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Metamat version af ZFC aksiomer ; En kortfattet og ikke-redundant aksiomatisering. Baggrundens første ordens logik er defineret specielt for at lette maskinel verifikation af beviser
En afledning i Metamath
Axiomatics of Set Theory (engelsk) på PlanetMath-webstedet .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk stor kinesisk Britannica (online)

Zermelo-Frenkel system

ZFC-aksiomer

Forklaring af ZFC-aksiomerne

0. Kriterier for lighed af sæt i ZFC

1. ZFC aksiomer om eksistensen af ​​sæt

2. ZFC aksiomer om dannelsen af ​​sæt

3. ZFC-aksiomer om rækkefølgen af ​​sæt

Noter

Historisk baggrund

Se også

Litteratur

Links

1. ZFC aksiomer om eksistensen af sæt

2. ZFC aksiomer om dannelsen af sæt

3. ZFC-aksiomer om rækkefølgen af sæt