Symmetri og antisymmetri af en tensor

Symmetri og anti-symmetriisering af en tensor er operationerne til at konstruere en tensor af samme type med en bestemt slags symmetri. For eksempel er en symmetriisering af en tensor en symmetrisk tensor , og en antisymmetrisering er en antisymmetrisk tensor . $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\venstre(T_{ij}-T_{ji}\right)$

Symmetriseringsoperation :

A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{ q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summeringen udføres over alle permutationer af indeksene omgivet af parentes. Symmetriiseringen af øvre indeks er defineret på samme måde; det er kun muligt at symmetriske over en gruppe af indekser af samme type. Operationen kan også anvendes på tensorproduktet af flere tensorer (som også er en tensor). Eksempler: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$

A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk })

Operationen af antisymmetrisering eller alternering er defineret som følger:

A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q))^{n_{1}\ldots n_{p))={\frac {1}{k !}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatørnavn {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k} )m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}

Summeringen udføres igen over alle permutationer af indeksene, men nu omgivet af firkantede parenteser og under hensyntagen til pariteten af permutationen . Eksempler: $\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ $\operatørnavn {sgn} \sigma$

A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk })

;

A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m }-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})

Nogle forfattere foretrækker ikke at skrive faktoren i formlerne for symmetri og antisymmetri. Du bør være opmærksom på dette, da andre formler er ændret i overensstemmelse hermed, hvilket kan være forvirrende. ${\frac {1}{k!)}}$

Symmetriserings- og antisymmetriseringsegenskaber

Hvis den er symmetrisk i så falder symmetriseringen med hensyn til disse indekser sammen med og antisymmetriseringen giver en nultensor. På samme måde, i tilfælde af antisymmetri i nogle indekser: antisymmetri vil falde sammen med , og symmetri vil give en nul tensor. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$ $T$ $T$
Hvis så Her er en symmetrisk , og er det ydre produkt af vektorrum. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\kile$