Steiner symmetri

En Steiner symmetri er en konstruktion af en bestemt type, der forbinder en vilkårlig figur med en figur med spejlsymmetri. Denne konstruktion anvendes til at løse det isoperimetriske problem foreslået af Jakob Steiner i 1838.

På baggrund af Steinersymmetriseringen blev der konstrueret andre symmetriseringer, som bruges i lignende problemer.

Definition

Lad der være et hyperplan og vær en given figur i . $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Phi$ $\mathbb {R} ^{n}$

Lad os introducere et ortogonalt koordinatsystem, hvori er beskrevet af ligningen . Lad for hvert punkt angive længden af skæringspunktet mellem den vinkelrette trukket til gennem , med sættet . Dernæst trækker vi gennem et længdesegment med et midtpunkt ved , vinkelret på . Foreningen af sådanne segmenter er Steinersymmetriseringen med hensyn til . $H$ $x_{n}=0$ $x\i H$ $\ell _{x}$ $H$ $x$ $\Phi$ $x$ $\ell _{x}$ $x$ $H$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $H$

Egenskaber

Lydstyrke er det samme som lydstyrke . $\Phi ^{*}$ $\Phi$

Overfladearealet overstiger ikke overfladearealet . $\Phi ^{*}$ $\Phi$
- Hvis en konveks krop, så lighed af overfladearealer og opnås kun, hvis det er spejlsymmetrisk med hensyn til hyperplanet parallelt med symmetrisplanet. $\Phi$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $\Phi$
- I det generelle tilfælde kan lighed opnås ikke kun for spejl-symmetriske , for eksempel opnås lighed for plane figurer sammensat af to rektangler med baser parallelle med den direkte symmetri. $\Phi$

Hvis den er konveks, gælder det samme for . $\Phi$ $\Phi ^{*}$

Steinersymmetriseringen øger ikke Hausdorff-afstanden mellem figurer, dvs. $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

hvor og er vilkårlige figurer, og er deres symmetrier i forhold til det samme hyperplan, og er Hausdorff-metrikken .

\Phi

\psi

\Phi ^{*}

\Psi ^{*}

d_{H}

Hvis , så . $\Phi \subset \Psi$ $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$

Variationer og generaliseringer

Symmetriisering af Polya (cirkulær).
Aksial symmetriisering ligner Steinersymmetriseringen, men giver en figur, der er invariant under rotationer omkring en given linje.

Litteratur

Blaschke . Cirkel og bold . - M . : Nauka, 1967.