Peano række

Peano-serien er en uendelig sum, hvor vilkårene opnås ved successiv anvendelse af operatorerne for integration og matrixmultiplikation.

Peano-serien blev foreslået i 1888 af Giuseppe Peano [1] for at bestemme matrixanten for et system af almindelige differentialligninger af normal form [2] . Den generelle teori og egenskaber for matrixanter for ligningssystemet af normal form (SNV) blev udviklet af F. R. Gantmakher [3] .

I de senere år er algoritmer baseret på anvendelsen af Peano-serien blevet brugt i vid udstrækning til at løse anvendte problemer [4] . I forbindelse med udviklingen af computerteknologi blev det muligt at implementere sådanne algoritmer ikke kun i analytisk, men også i numerisk og numerisk-analytisk form.

Definition

System af lineære differentialligninger med variable koefficienter af normal form (SNV):

$\int Y'dx=AY+F$ ,

hvor er vektoren af ukendte funktioner, er matrixen af koefficienter er vektoren af givne funktioner (vektor for "belastninger"). $Y$ $EN$ $F$

$Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left( t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots, n$ .

Den generelle løsning af et system af differentialligninger af normal form er udtrykt i form af en matrix af fundamentale løsninger (matrixant):

$\Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]$ .

$Y=\Omega C+{Y_{F}}$ , ${Y_{F}}=\Omega \int {{\Omega ^{-1}}F}$

J. Peano viste, at matrixmatricen kan repræsenteres som en operatorrække: $EN$

$\Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A \,+\ldots$ ,

hvor er identitetsmatrixen. I dette tilfælde skal matricen være en afgrænset og integrerbar matrixfunktion i ændringsintervallet for det overvejede argument. Serien konvergerer absolut og ensartet i ethvert lukket interval, hvor matricen A er kontinuert. $E$ $EN$

Integrationsoperatøren er et integral med en variabel øvre grænse:

$\int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots}\right)}\,dt\,;{ \begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots}\right)=\,\int {\int {\ venstre({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi } }{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{array}}\,dt$ .

Af disse udtryk følger det

$\Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E$ .

${\omega _{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\ højre)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\venstre\{{y_{0,i}}\right\}^{T));\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\left({t_{0}}\right)$ .

En anden, fysisk mere bekvem, form for repræsentation af den generelle løsning er også mulig:

$Y=\Omega \cdot ({Y_{0))+{U_{P)))\,;\quad {U_{P))=\int ({\Omega ^{-1))F\ ,.}$ .

Her er vektoren af begyndelsesværdier, der er givet ved . er vektoren af ydre påvirkninger, der virker ved . Uden tab af almenhed kan vi antage, at . $Y_{0}$ $t=t_{0}$ ${\displaystyle U_{P))$ ${\displaystyle t\geq t_{0))$ $t_{0}=0$

Således, hvis variablen fysisk repræsenterer tid, så er den generelle løsning en løsning på Cauchy-problemet, og hvis variablen fysisk repræsenterer afstand, så er den generelle løsning en løsning på grænseværdiproblemet i form af metoden med initiale parametre [1].

Konvergensdomæne for Peano-serien

Peano-serien konvergerer absolut og ensartet i et givet ændringsinterval, hvis majorant-serien konvergerer $t$

$M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu ({\left(t\right)}^{2))}{2!))+{\frac { {n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu { {\left(t\right)}^{k}}}{k!}}+\ldots$ ,

$\mu \left(t\right)=\mathop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij)) \left(t\right)}\right|dt}$ .

Derfor er konvergensen af serien bestemt af værdien af den største værdi af integralet af den absolutte værdi af funktionerne i et givet ændringsinterval . $a_{{ij}}$ $t$

Anvendelse af Peano-serien til løsning af lineære differentialligninger

Lineær differentialligning med variable koefficienter

${y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2) }}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)$

kan reduceres til et ækvivalent system af ligninger af normal form ved at indføre notationen

${y_{i}}={y^{(i-1)}});{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots , n}\\\end{array}}$ .

Ved at differentiere denne lighed får vi: ${y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}$

Disse ligheder kan betragtes som STRN-ligningerne for . Den sidste ligning kan fås fra den oprindelige ligning ved at flytte alle led, undtagen , til højre, skrive dem i omvendt rækkefølge og udtrykke de afledte i form af variable med det tilsvarende tal: $i-1,2,\dots ,n-1$ $y^{{(n)}}$

${\begin{array}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2} }{y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}} =-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots -{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_ {n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{array}}$

Så får vi et tilsvarende system af normal form:

$Y'=AY+F$ .

Matrixen og vektoren af dette system har formen: $EN$ $F$

$A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&. &.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{ a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{array} }\ret]$ ; . $F={\left\{{0,\ldots ,0,f(x)}\right\}^{T))$

I en vektor er hvert efterfølgende element en afledt af det foregående. Derfor er hver efterfølgende linje i , startende fra den anden, en afledt af den foregående: $Y$ $\Omega$

${\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}$

Hvis vi angiver , så kan matrixanten repræsenteres som: ${\omega _{1j))={\psi _{j))$

$\Omega =W=\venstre[{\begin{array}{*{20}{c))({\psi _{1)),{\psi _{2)),\ldots ,{\ psi _{n))}\\{{{\psi '}_{1)),({\psi '}_{2)),\ldots ,({\psi '}_{n))}\ \\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots ,\psi _{n}^{(n- 1)}}\\\end{array}}\right]$

Således er matrixanten for et ækvivalent system af normal form en Wronsky-matrix[1], og systemet af fundamentale løsninger er normaliseret til nul.

Peano-serien i løsning af andenordens differentialligninger

Overvej en ligning med vilkårlige variable koefficienter:

$y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)$ .

Denne ligning reduceres til et system af normal form:

$Y={\venstre\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T))$ ; ; . $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_ {1}}}\\\end{array}}\right]$ $F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T))$

Hvis , så kan elementerne i matrixanten repræsenteres som: $a_{1}=0$

$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0} }+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_ {0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _ {12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _ {}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}} \int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0} }+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0 }}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{ 0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{ a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _ {}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{array}}\right .$

Hvis integralerne tages, så kan løsningen repræsenteres i form af serier med hensyn til nogle funktioner. Som et eksempel på anvendelsen af disse formler kan du overveje oscillationsligningen

$y''+{\omega ^{2}}\,y=0$ , . ${a_{0}}=-{\omega ^{2));\quad {a_{1}}=0$

Elementerne i matrixmidlet opnås i form af følgende rækker:

${\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{ 4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,$ ;

${\omega _{12}}=t\;.-{\frac ({\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^ {4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t$ .

Elementerne i den anden række i matrixanten opnås ved at differentiere den første række:

$\Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \, \omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{array}}\right]\,$ .

Af stor praktisk interesse er løsningen af Sturm-Liouville-problemet [1] for ligninger af formen:

$y''+\,\lambda \,({\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a }_{0}}$ .

I dette tilfælde vil elementerne i serien blive ganget med den tilsvarende potens af tallet . For eksempel: $\lambda$

${\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _ {}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{ 2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }$

${\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{} {a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^ {}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}\int \limits _{} ^{2}{a_{0}}-\ldots }\ldots }$

Når grænsebetingelserne er opfyldt ved kanten af ændringsintervallet for argumentet, gør disse formler det muligt at komponere et polynomium, hvis rødder giver hele spektret af egenværdier [4].

Implementering af algoritmen i numerisk form

I tilfælde hvor der ikke tages integraler eller opnås for komplekse og besværlige udtryk, er en numerisk algoritme til løsning af problemet mulig. Ændringsintervallet for argumentet er opdelt af et sæt noder i tilstrækkeligt små lige store intervaller. Alle funktioner, der er involveret i at løse problemet, er specificeret af et sæt værdier ved gitterknuderne. Hver funktion har sin egen vektor af værdier i gitterknudepunkter. Alle integraler beregnes numerisk, for eksempel ved hjælp af trapezmetoden.

Løsning af anvendte problemer

Algoritmer baseret på anvendelsen af Peano-serien bruges til at løse problemer med statik, dynamik og stabilitet for stænger, plader og skaller med variable parametre. Ved beregning af todimensionelle systemer anvendes dimensionsreduktionsmetoder. Ved beregning af omdrejningsskaller beskrives parametrene for skallen og belastningen i omkredsretningen af trigonometriske serier. Normalformens ligningssystem sammenstilles for hver harmonisk, der beskriver ændringen i skallens egenskaber, kræfter og deformationer i længderetningen, og der opnås en generel løsning af grænseværdiproblemet. Denne del af problemet løses normalt numerisk. Derefter kombineres disse harmoniske under anvendelse af kompatibilitetsbetingelserne, og spændings-belastningstilstanden af skallen opnås, som ændrer sig i længde- og periferretningen.

Noter

↑ Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math. Ann. 32 (1888), 450-456.
↑ Matematisk encyklopædi. Bind 3 og 4. Kap. redaktør I. M. Vinogradov. - M .: Publishing House of the Soviet Encyclopedia. 1982.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M.: Nauka, 1967. — 575 s.
↑ Ulitin V.V. Peano-serien og matrixmidler til løsning af anvendte problemer: monografi. - St. Petersborg: Publishing House "Park Com", 2012. -164 s.