Matrix stråle

En matrixblyant er en funktion af et komplekst argument, der returnerer en kombination for et givet sæt af matricer, der ikke er nul : $L(\lambda )$ ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{l))$

{\displaystyle L(\lambda )=\sum _{i=0}^{l}\lambda ^{i}A_{i))

( kaldet sheaf grad ). $l$

Et særligt tilfælde er en lineær blyant af matricer med (eller ), hvor matricerne og er komplekse (eller reelle) -matricer [1] . En sådan stråle er kort betegnet som . $A-\lambda B\,$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $EN$ $B$ $n\ gange n$ $(A,B)$

Et bundt kaldes regulært , hvis der er mindst én værdi , som . Egenværdierne af en blyant af matricer kaldes alle komplekse tal for hvilke (i analogi med egenværdierne af matricer). Sættet af egenværdier kaldes strålespektret og skrives som . En blyant siges også at have (en eller flere) egenværdier ved uendelig, hvis den har (en eller flere) nul egenværdier. $\lambda$ $\det(A-\lambda B)\neq 0$ $(A,B)$ $\lambda$ $\det(A-\lambda B)=0$ $\sigma (A,B)$ $B$

Hvis to matricer pendler ( ), så opfylder bunken dannet af dem en af følgende betingelser [2] : $AB=BA$

består kun af matricer svarende til den diagonale,
har ingen matricer, der ligner den diagonale,
har præcis én diagonallignende matrix.

Matrixskiver spiller en vigtig rolle i lineær algebras numeriske metoder . Problemet med at finde egenstråler kaldes det generaliserede problem med at finde egenværdier . Den mest almindelige metode til at løse dette problem er QZ-algoritmen , som er en implicit version af QR-algoritmen til at løse det koblede egenværdiproblem uden eksplicit matrixdannelse (som kan være umulig eller dårligt betinget, hvis den er degenereret eller næsten degenereret). $B^{-1}Ax=\lambda x$ $B^{-1}A$ $B$

Noter

↑ Golub, Van Loan, 1999 , s. 375.
↑ Marcus, Minc, 1969 , s. 79.

Litteratur

J. Golub, C. Van Lone. Matrixberegninger. - Moskva: Mir, 1999. - ISBN 5-03-002406-9 .
Marvin Marcus, Henryk Minc. En undersøgelse af matrixteori og matrixuligheder. - New York: Dover Publications, 1969. - ISBN 0-486-67102-X .