Gap (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. december 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Intervallet [1] , eller mere præcist tallinjens interval , er mængden af reelle tal - sådan at hvis nogle to tal hører til denne mængde, så hører ethvert tal der ligger mellem dem også til dette sæt [2] . Ved hjælp af logiske symboler kan denne definition skrives som følger:

et sæt er kun et interval hvis

X\subseteq \mathbb {R}

\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big ) },

hvor er den universelle kvantifier . Følgende sæt er eksempler på huller: $\for alle$

{\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\ {x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R},&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}

Gab typer

Slut span

Det endelige interval består af et sæt tal indesluttet mellem to tal og - enderne af intervallet , som selv kan indgå i dets sammensætning, eller ej [1] . Hvis a ≤ b , så kaldes længden af et sådant interval et tal . $-en$ $b$ $|ab|=|ba|=ba$

Lukket (lukket) endeligt interval

Hvis , så kaldes intervallet et segment [3] eller et numerisk segment og er angivet med : $a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))$ $[a,b]$

[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.

I tilfælde af, at segmentet degenererer til et sæt på et punkt (til en singleton ). $a=b$

Open End Gap

Hvis , så kaldes intervallet et interval og er angivet med : $a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}$ $\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}$ $(a,b)$

(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.

For at udpege et åbent hul bruger de ofte betegnelsen efter forslag fra N. Bourbaki i stedet for . $(a,b)$ $]a,b[$

Halvlukket (halvåbent) endeligt spænd

huller

[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a, b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}

kaldes halve segmenter (ikke polstret til et segment) eller halve intervaller .

Infinite Gap

Uendelige huller

\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \ mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad

\quad \mathbb {R}

på den positive eller negative side er ikke begrænset til et reelt tal. I dette tilfælde er det praktisk at antage, at disse intervaller har ukorrekte tal og som en af enderne eller begge ender , forudsat at forholdet er sandt for ethvert reelt tal . Betegnelserne og navnene på uendelige intervaller ligner de navne, de har for endelige intervaller. For eksempel kan ovenstående sæt omskrives i overensstemmelse hermed som $-\infty$ $+\infty$ $x \in \mathbb{R}$ $-\infty <x<+\infty$

[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\ infty ),

På grund af det faktum, at og pr. definition ikke er inkluderet i disse sæt, er de ikke inkluderet i disse sæt. $-\infty$ $+\infty$ $\mathbb {R} ,$

Tom plads

Det tomme sæt er også et interval, der trivielt falder ind under dets definition: $\varnothing$

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,

hvor a < b .

Intervaller af den affint forlængede tallinje

Sættet af reelle tal , suppleret med elementer og , kaldes udvidet (mere præcist, affint udvidet , for at skelne fra projektivt forlænget ret linje ) reel linje og betegnes , dvs. $\mathbb {R}$ $+\infty$ $-\infty$ $\overline{\mathbb{R))$

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].

Desuden, for ethvert reelt tal , pr. definition, ulighederne $x \in \mathbb{R}$

-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty

For den udvidede tallinje introduceres også begreberne intervaller - segmenter, intervaller, halve intervaller [1] . I modsætning til de tilsvarende intervaller på tallinjen kan de indeholde elementer . For eksempel . $\pm \infty$ $(a, +\infty] = (a, +\infty) \kop {\{+\infty\))$

Terminologi

På russisk svarer ordene interval og interval til ét engelsk ord interval . I engelsk litteratur [4] og i oversættelser af udenlandske bøger, såvel som i nogle andre bøger på russisk, bruges følgende terminologi :

{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\))

- lukket interval ( engelsk lukket interval ),

{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))

- åbent interval ( engelsk åbent interval ),

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}

- halvåbent (eller halvlukket) interval ( engelsk halvåbent interval / halvt lukket interval ),

{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\))

- halvåbent (eller halvlukket) interval ( engelsk halvåbent interval / halvt lukket interval ).

Det vil sige, i en sådan terminologi kaldes de alle intervaller , men kun af en anden type.

I ældre russisksproget litteratur [5] bruges i stedet for "interval" ordet interval : lukket interval , åbent interval , halvåbent (eller semi-lukket ) interval .

Men især i undervisningslitteraturen, hvor det største antal sætninger for funktioner på kompakte mængder, er det at foretrække at bruge et separat navn for et lukket interval i ét ord - segment [3] (udtrykket "segment" har mere en geometrisk konnotation, som "et interval af en tallinje"). I dette tilfælde er udtrykket "interval" kun tildelt til det åbne mellemrum.

Se også åbne og lukkede sæt.

Fakta

Mellemværdisætningen

Den velkendte Bolzano-Cauchy-sætning om mellemværdier af en kontinuert funktion siger: billedet af ethvert interval under en kontinuerlig mapping er også et interval. Denne teorem har en generalisering til tilfældet med vilkårlige topologiske rum : billedet af et forbundet sæt under en kontinuerlig afbildning er forbundet. Numeriske intervaller, og desuden kun de er bare forbundne delmængder . $\mathbb {R}$

Intervaloperationer

I praksis karakteriserer intervallet ofte rækken af mulige værdier ( ca. ) af den målte værdi. Aritmetiske operationer kan defineres på sættet af sådanne intervaller. Så kan resultatet af beregninger over mængder forbindes med de tilsvarende beregninger over deres intervaller, som i sidste ende bestemmer intervallet af mulige værdier for resultatet.

Mål

Tallinjens intervaller, såvel som rektangler i planet, rektangulære parallelepipeder i rummet, osv., er et af hovedobjekterne, som målteorien er baseret på, da de er de enkleste sæt, hvis mål ( længde , areal , volumen , osv.) ) er let at bestemme.

Generaliseringer

Forbundne sæt

En generalisering af spændvidden af den reelle linje er forestillingen om et forbundet topologisk rum . På den rigtige linje er hvert tilsluttet sæt et mellemrum, og omvendt er hvert mellemrum et forbundet sæt.

Også tallinjens spændvidde ligger til grund for en anden, mere speciel forestilling om en lineær forbindelse . I sættet af reelle tal , såvel som i det euklidiske rum af vilkårlig dimension , falder begreberne forbindelse og lineær forbindelse sammen. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Konvekse sæt

En anden generalisering af begrebet et interval af en tallinje er begrebet et konveks sæt .

Huller i delvist ordnede sæt

I det mest generelle tilfælde kan begrebet interval introduceres på ethvert sæt, hvorpå rækkefølgerelationen er introduceret . $<$

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Kudryavtsev, L. D. Matematisk analyseforløb. - 5. udg. - M. : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 64-65. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ I en række kilder beskrives det som et interval ; se for eksempel Interval // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kasakhiske encyklopædier , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)
↑ 1 2 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reelle tal // Matematisk analyse / Red. A.N. Tikhonova . - 3. udg. , revideret og yderligere - M. : Prospekt, 2006. - T. I. - S. 53. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 . Arkiveret 23. juni 2015 på Wayback Machine
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Modeksempler i analyse = Modeksempler i analyse. - M. : LKI, 2007. - S. 17-18. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 .
↑ Fikhtengolts, G. M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - 7. udg. - M. : "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - S. 35. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer