Genererende funktion af momenter

Den genererende funktion af momenter er en måde at specificere sandsynlighedsfordelinger på . Oftest brugt til at beregne momenter .

Definition

Lad der være en stokastisk variabel med fordeling . Så er dens genererende funktion af momenter en funktion, der har formen: $x$ $\mathbb {P} ^{X}$

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]

Ved at bruge formlerne til beregning af den matematiske forventning kan definitionen af den genererende funktion af momenter omskrives som:

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

det vil sige, at momenternes genererende funktion er den tosidede Laplace-transformation af fordelingstætheden af en tilfældig variabel (op til refleksion).

Diskrete og absolut kontinuerte tilfældige variabler

Hvis den tilfældige variabel er diskret , det vil sige , så $x$ $\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$

M_{X}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}

Eksempel. Lad har en Bernoulli distribution . Derefter $x$

M_{X}(t)=e^{t\cdot 1}\cdot p+e^{t\cdot 0}\cdot q=pe^{t}+q

Hvis den tilfældige variabel er absolut kontinuert , det vil sige, den har en tæthed , så $x$ $f_{X}(x)$

M_{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,f_{X}(x)\,dx

Eksempel. Let har en standard kontinuerlig ensartet fordeling . Derefter $X\simU[0,1]$

M_{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{tx}\cdot 1\,dx=\venstre.{\frac {e^{tx}}{t }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{t}-1}{t}}

Egenskaber for momentgenererende funktioner

De momentgenererende funktioners egenskaber ligner i mange henseender egenskaberne for de karakteristiske funktioner på grund af ligheden mellem deres definitioner.

Den momentgenererende funktion bestemmer entydigt fordelingen. Lade være to tilfældige variable, og . Så . Især, hvis begge mængder er absolut kontinuerte , så medfører sammenfaldet af de genererende funktioner af momenterne sammenfaldet af tæthederne. Hvis begge stokastiske variable er diskrete , så medfører sammenfaldet af de genererende funktioner af momenterne sammenfaldet af sandsynlighedsfunktionerne. $X,Y$ $M_{X}(t)=M_{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Den genererende funktion af momenter som funktion af en stokastisk variabel er homogen:

M_{aX}(t)=M_{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Den genererende funktion af momenterne af summen af uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres genererende funktioner af momenterne. Lad der være uafhængige stokastiske variable. Lad os betegne . Derefter $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

M_{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}M_{X_{i}}(t)

Beregning af momenter

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}M_{X}(t)\right \vert _{t=0}

Genererende funktion af momenter

Definition

Diskrete og absolut kontinuerte tilfældige variabler

Egenskaber for momentgenererende funktioner

Beregning af momenter

Se også