Kunstværk af Kulkarni - Nomizu

Kulkarni-Nomizu-produktet er defineret for to (0,2) -tensorer og resulterer i en (0,4)-tensor. Dette produkt gør det muligt at udtrykke krumningstensoren med nul Weyl -tensor i form af Ricci-krumningstensoren .

Normalt betegnet . ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}$

Definition

Hvis og er (0,2)-tensorer, er produktet defineret som: $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h( X_{1},X_{3})\cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})\cdot k(X_{1},X_{3} )-

-h(X_{1},X_{4})\cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})\cdot k(X_{1 },X_{4})

hvor X j er vektorer af grundrummet.

Eksempler

Hvis en Riemannmanifold har konstant sektionskrumning , udtrykkes dens krumningstensor fra den metriske tensor som følger: $k$ $R$ $g$ $R={\frac {k}{2}}\cdot g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g$

Se også

Krumning af Riemann-manifolder

Kunstværk af Kulkarni - Nomizu

Definition

Eksempler

Se også

Links