Projektiv linje

Den projektive linje er et endimensionelt projektivt rum . En projektiv linje er et sæt linjer (endimensionelle underrum) i et 2-dimensionelt lineært rum. Punkterne på den projektive linje kan angives ved hjælp af homogene koordinater . Som et topologisk rum er den projektive linje etpunktskomprimeringen af den affine linje . $[x_{1}:x_{2}]$

Eksempler

En rigtig projektiv linje med en blyant af glatte funktioner er en glat manifold . Denne manifold er diffeomorf til en cirkel . Den komplekse projektive linje - Riemann-sfæren - som en reel mangfoldighed er diffeomorf til den todimensionelle sfære . For et skævt felt af quaternioner er den projektive linje, som en reel manifold, . $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$

Handling af grupper på den projektive linje

For grupper osv. kan en handling på den projektive linje defineres. Ved at faktorisere over gruppen af skalarmatricer opnår vi grupper, for hvilke denne handling er nøjagtig. For et begrænset felt er det isomorft for en eller anden undergruppe af en endelig symmetrisk gruppe [1] . $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ $PSL_{2}(k)$

I algebraisk geometri

Den projektive linje er et vigtigt eksempel på en projektiv variation . Funktionsfeltet for den projektive linje er feltet for rationelle funktioner. Automorfigruppen i et felt er gruppen . Hvis en ikke-degenereret kvadratisk kurve indeholder mindst et punkt, så er den birationelt isomorf til en projektiv linje. $P^{1}(K)$ $K(X)$ $K(X)$ $PGL_{2}(K)$

Noter

↑ Bogopolsky O.V. Introduktion til gruppeteori. - 2002.

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linear Algebra and Geometry - M. : Nauka 1986.
Mathematical Encyclopedia, 1984, bind 4, s.671, artikel Projective line.
Hartshorne R. Algebraisk geometri - M. : Mir, 1981.