Holstein-Primakov transformation

Holstein-Primakov transformationen er overgangen fra spinoperatorer til operatorer til skabelse og udslettelse af magnoner (som er bosoner [1] ). Det blev foreslået af Theodor Holstein (1915-1985, nogle gange staves efternavnet "Holstein") og Henry Primakov (1914-1983) [2] i et originalt papir fra 1940 [3] .

Den første Holstein-Primakov transformation

I studiet af spin-bølger går man normalt over til cykliske kombinationer af spin- komponenter . Dette gøres på følgende måde. Dynamikken af magnetiske momenter (eller spins) er beskrevet af Landau-Lifshitz-ligningen . Forudsat at en ferromagnet er placeret i et stærkt magnetfelt med en styrke langs z - aksen og er tæt på mætning (dvs. for spinkomponenterne af længden S , relationerne $H_{\mathrm {ext} }$ $S_{z}\approx S$ $S_{x,y}\ll S$

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{ y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{ x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},

hvor den magnetiske anisotropi er inkluderet i udvekslingsintegralet , er g Lande-faktoren og er Bohr-magnetonen . For at studere spin-bølger er disse to ligninger skrevet for operatorerne ${\displaystyle J_{ji))$ $\mu _{B}$

S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},

i form af

{\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}( S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),

hvor i er den imaginære enhed. [fire]

I dette tilfælde er Holstein-Primakov (første) transformation erstatningen

S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dolk}a_{j}\right) ^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dolk }\left(1-{\frac {1}{ 2S}}a_{j}^{\dolk }a_{j}\right)^{1/2},

hvor er operatøren af skabelsen af spin-excitationer ( kvasipartikler ), er operatøren af deres udslettelse. [2] [5] ${\displaystyle a_{j}^{\dolk ))$ $a_{j}$

Denne transformation er gyldig ved lave temperaturer, når antallet af kvasipartikler kan betragtes som lille. Kravet om diagonalisering af spin Hamiltonian viser, at de elementære excitationer af en ferromagnet bør være spinbølger (det vil sige kollektive excitationer), og ikke spinafvigelser fra ligevægtstilstanden lokaliseret ved gitterstederne. [6]

Den anden Holstein-Primakov transformation

Nogle gange taler de om den anden Holstein-Primakov-transformation, hvilket betyder overgangen til oprettelse og udslettelse af spin-bølger ved Fourier-transformationen af operatorerne for kvasipartikler og deres repræsentation i form af bølgevektorer : $a_{j}$ ${\displaystyle a_{j}^{\dolk ))$ ${\mathbf k}$

a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r } _{j)),\quad a_{\mathbf {k} }^{\dolk }={\frac {1}{\sqrt {N))}\sum _{j}a_{j}^{\ dolk }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.

De nye operatører opfylder de samme kommuteringsrelationer som de "gamle" og kan derfor også betragtes som operatører af skabelsen og udslettelse af Bose-partikler, men som allerede er kollektiviseret. Spin Hamiltonian udtrykt i form af dem er diagonaliseret, og operatørerne selv kaldes operatørerne for tilintetgørelse og skabelse af spinbølger eller magnoner . [7] ${\displaystyle a_{\mathbf {k} ))$ $a_{\mathbf {k} }^{\dolk }$

Se også

Anden kvantisering

Noter

↑ Gurevich, Melkov, 1994 , s. 225.
↑ 12 Rössler , 2009 , s. 173.
↑ T. Holstein, H. Primakoff. Feltafhængighed af det indre domæne Magnetisering af en ferromagnet // Fysisk. Rev. - 1940. - T. 58 , nr. 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
↑ Rössler, 2009 , s. 171-172.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , s. 230.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , s. 231-232.
↑ Gurevich, Melkov, 1994 , s. 232-233.

Litteratur

Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetiske oscillationer og bølger. - M. : Fizmatlit, 1994. - 464 s. - 2000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014366-9 .
Davydov A.S. Theory of Solids . - M . : Nauka, 1976. - S. 106 -108. — 646 s.
H. Haken. Kvantefeltteori for faste stoffer. — M .: Nauka, 1980.
T. Holstein, H. Primakoff. Feltafhængighed af det indre domæne Magnetisering af en ferromagnet // Fysisk. Rev. - 1940. - T. 58 , nr. 12 . — S. 1098–1113 . - doi : 10.1103/PhysRev.58.1098 .
Kei Yoshida. Teori om magnetisme. - Springer, 1998. - Vol. 122. - S. 120-125. - 320 sider. - (Springer-serien i faststofvidenskab). — ISBN 9783540606512 .
Ulrich Rossler. Solid state teori: en introduktion. — 2. udg. - Springer, 2009. - 398 s. — ISBN 9783540927617 .