Ruffinis regel

Ruffinis regel er en effektiv teknik til at opdele et polynomium i et binomium af formen I 1804 blev det beskrevet af Paolo Ruffini . [1] Ruffinis regel er et specialtilfælde af syntetisk division, når divisoren er lineær. $xr.$

Algoritme

Reglen etablerer en metode til at dividere et polynomium

{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0))

på binomial

Q(x)=xr

for private

{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0))

;

Faktisk udfører algoritmen kolonneopdeling P ( x ) med Q ( x ).

For at dividere P ( x ) med Q ( x ) i henhold til denne algoritme, skal du bruge

Tag koefficienterne P ( x ) og skriv dem ned i rækkefølge. Skriv derefter r til venstre lige over linjen: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&\\\end {array}}$
Flyt koefficienten længst til venstre ( a n ) ned, lige under linjen: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\& =b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Multiplicer tallet længst til højre under linjen med r og skriv det næste over linjen: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}$
Tilføj to værdier i samme kolonne: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}$
Gentag trin 3 og 4, så længe der er tal: ${\begin{array}{c|cccc}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{ n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1} &=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Tallene b i er koefficienterne for kvotienten ( R ( x )), hvis grad er én mindre end graden af P(x). Den sidste værdi af s modtaget er resten . Ifølge Bezouts sætning er denne rest P ( r ).

Brug

Division efter polynomium x - r

Et fungerende eksempel på opdeling af polynomier i henhold til den ovenfor beskrevne algoritme.

Lade:

P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,

Q(x)=x+1.

Vi vil finde ved hjælp af Ruffinis regel. Hovedproblemet er, at dette ikke er et binomium af formen , men snarere skal vi omskrive det sådan her: $P(x)/Q(x)$ $Q(x)$ $xr,$ $x+r.$