Runges regel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. maj 2019; checks kræver 12 redigeringer .

Runges regel - en regel til at estimere fejlen ved numeriske metoder , blev foreslået af K. Runge i begyndelsen af det 20. århundrede. [en]

Hovedideen (for Runge-Kutta-metoderne til at løse ODE'er ) er at beregne tilnærmelsen ved den valgte metode med trin h, og derefter med trin h/2, og yderligere overveje fejlforskellene for disse to beregninger.

Anvendelse af Runges regel

Estimering af nøjagtigheden af at beregne et bestemt integral

Integralet beregnes ved hjælp af den valgte formel (rektangler, trapezoider, Simpsons parabler) med antallet af trin lig med n, og derefter med antallet af trin lig med 2n. Fejlen ved beregning af værdien af integralet med antallet af trin lig med 2n bestemmes af Runge-formlen: , for formlerne for rektangler og trapezoider , og for Simpson-formlen . [2]
$\Delta _{{2n}}\ca. \Theta |I_{{2n}}-I_{{n}}|$ $\Theta ={\frac {1}{3}}$ $\Theta ={\frac {1}{15}}$

Således beregnes integralet for successive værdier af antallet af trin , hvor er det oprindelige antal trin. Beregningsprocessen slutter, når den næste værdi af N opfylder betingelsen , hvor er den specificerede nøjagtighed. $N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots$ $n_{0}$ $\Delta _{2n}<\varepsilon$ $\varepsilon$

Estimering af nøjagtigheden af den numeriske løsning af ODE

Det bruges også til at estimere nøjagtigheden af løsninger til almindelige differentialligninger på almindelige gitter. Til estimering er det nødvendigt at løse problemet på 2 gitter, en gang med trin h ( ) og den anden med trin h/2 ( ). Formel [3] $y_{{i,h}}$ $y_{{i,h/2}}$

${|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}$

giver fejlen i løsningen . Med menes rækkefølgen af nøjagtigheden af den anvendte numeriske metode. For eksempel, for en numerisk metode, der har den fjerde rækkefølge af nøjagtighed, har formlen formen: $y_{{i,h/2}}$ $s$

${1 \over 15}|y_{{i,h}}-y_{{i,h/2}}|$

Noter

↑ Ivan P. Gavrilyuk, "2.4 A posteriori fejlestimering og automatisk netgenerering." // Exact and Truncated Difference Schemes for Boundary Value ODEs, Springer, 2011, ISBN 9783034801072 , side 76-77: "Den første mulighed er den klassiske teknik, som er blevet foreslået af Carl Runge."
↑ Ogorodnikov A. S., Orlov O. V., 6. Runges regel for estimering af integrationsfejl Arkivkopi dateret 14. september 2013 på Wayback Machine // Laboratoriearbejde nr. 4. Numerisk integration, Laboratorieværksted om kurset "Numeriske metoder" (ENIN) Arkiveret 8. december 2015 på Wayback Machine , Tomsk Polytechnic University
↑ P. V. Vinogradova, A. G. Ereklintsev, 8. NUMERICAL SOLUTION OF ORDINARY FIRST ORDERS DIFFERENTIAL EQUATIONS Arkiveret 14. september 2013 på Wayback Machine // NUMERISKE METODER Arkiveret 4. marts 2016 ved Fartvejen 2016 -universitetet, 1.

Litteratur

RUNGE REGEL // Matematisk leksikon. — M.: Sovjetisk Encyklopædi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. , Computational Methods, 3. udgave, bind 1, M., 1966; 2. udgave, bind 2, M., 1962;
Moderne numeriske metoder til løsning af almindelige differentialligninger, trans. fra engelsk, M., 1979. A. B. Ivanov.

Runges regel

Anvendelse af Runges regel

Estimering af nøjagtigheden af ​​at beregne et bestemt integral

Estimering af nøjagtigheden af ​​den numeriske løsning af ODE

Noter

Litteratur

Links

Estimering af nøjagtigheden af at beregne et bestemt integral

Estimering af nøjagtigheden af den numeriske løsning af ODE