En og en halv streg form

En sesquilineær form er en generalisering af begrebet en bilineær form . Som regel er en sesquilineær form en funktion f(x, y) af to vektorer af et vektorrum over et felt med værdier i dette felt, hvis det er lineært som en funktion for hver fast og semi -lineær som en funktion for hver fast . Kravet om semi-linearitet betyder, at følgende betingelser er opfyldt: [1] $V$ $\mathbb {C}$ $x$ $y$ $y$ $x$ $y$

$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Således opstår visse former naturligt i anvendelser til fysik.

Der er en generalisering til tilfældet, når vektorrummet betragtes over et vilkårligt felt , så erstattes den komplekse konjugation af en vilkårlig fast automorfi af feltet. I projektiv geometri betragtes nogle gange en endnu større generalisering, når der i stedet for et vektorrum bruges et modul over en vilkårlig krop . $K$

Argumentrækkefølgekonventioner

Definitionen i præamblen er lineær i det første argument og semi-lineær i det andet. Denne konvention bruges ofte i den matematiske litteratur. Det er dog værd at bemærke, at i den fysiske litteratur bruges semilinearitet i det første argument oftere [2] , denne overensstemmelse stammer fra betegnelserne bra og ket introduceret af Dirac i kvantemekanikken .

I et komplekst vektorrum

En kortlægning i et komplekst vektorrum kaldes sesquilineær, hvis: $\varphi :V\ gange V\til \mathbb {C}$ $V$

{\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y ,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}

for alle og alle Her, ved hjælp af et tal, der er komplekst konjugeret til et tal $x,y,z,w\in V$ $a,b\in \mathbb {C} .$ $\overline {b}$ $b.$

Den komplekse sesquilineære form kan også ses som en kompleks bilineær kortlægning

V × V ¯ → C , {\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}

V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,

hvor er det komplekse konjugerede vektorrum til rummet

{\overline {V))

V.

For et fast kort er afbildningen en lineær funktionel på , det vil sige et element i det dobbelte rum . Tilsvarende er kortlægningen for fast en antilineær funktion på $w\in V$ $z\mapsto \varphi (z,w)$ $V$ $V^*$ $w\mapsto \varphi (z,w)$ $z$ $V.$

For enhver kompleks sesquilineær form kan vi overveje den anden form ved formlen: $\varphi$ $\psi$

ψ ( w , z ) = φ ( z , w ) ¯ . {\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).}

\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).

I det generelle tilfælde, og vil være anderledes, og deres matricer er Hermitian konjugat . Hvis formerne matcher, siges det at være hermitisk . På samme måde, hvis de er modsat hinanden, så siges det at være skæv-ermitisk .

\psi

\varphi

\varphi

\varphi

Matrixrepræsentation

Lad være et endeligt-dimensionelt komplekst vektorrum, så for enhver

basis kan den sesquilineære form repræsenteres ved hjælp af en matrix i henhold til følgende formel:

V

{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i))

\varphi

\Phi

φ ( w , z ) = φ ( ∑ jeg w jeg e jeg , ∑ j z j e j ) = ∑ jeg ∑ j w jeg z j ¯ φ ( e jeg , e j ) = w T Φ z ¯ . {\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.}

\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\overline {z}}.

Matrixelementerne bestemmes ud fra betingelsen

\Phi

\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).

Hermitiske former

En hermitisk form (også en sesquilineær symmetrisk form ) er en sesquilineær form på et komplekst rum, således at $h:V\ gange V\to \mathbb {C}$ $V$

h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ . {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w))).}

h(w,z)={\overline {h(z,w))).

I tilfælde af positiv bestemthed af en sådan form (defineret på samme måde som det bilineære tilfælde), taler man om et hermitisk skalarprodukt . Det hermitiske standardprodukt er givet ved formlen

⟨ w , z ⟩ = ∑ jeg = en n w jeg z ¯ jeg . {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.

Et par af et vektorrum og en hermitisk form defineret på det kaldes

et hermitisk rum , og i det positivt definerede tilfælde et komplekst Hilbert-rum . Når du skriver en hermitisk form på et vilkårligt grundlag, opnås en hermitisk matrix .

(V,h)

Når du anvender den hermitiske form på den samme vektor

| z | h = h ( z , z ) {\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}

|z|_{h}=h(z,z)

altid et reelt tal . Det kan påvises, at en kompleks sesquilineær form er hermitisk, hvis og kun hvis den tilsvarende kvadratiske form er reel for alle

z\in V.

Skæve-ermitiske former

En skæv-ermitisk form er en sesquilineær form på et komplekst rum, sådan at $s:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

s ( w , z ) = − s ( z , w ) ¯ . {\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).}

s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).

Hver skæv-ermitisk form kan repræsenteres som hermitisk ganget med .

jeg

Når du skriver en skæv-ermitisk form på et vilkårligt grundlag, opnås en skæv-hermitisk (anti-hermitisk) matrix .

Når du anvender den skæve hermitiske form på den samme vektor

| z | s = s ( z , z ) {\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}

|z|_{s}=s(z,z)

altid et rent imaginært tal .

Over divisionsringen

Begrebet en sesquilineær form kan generaliseres til en vilkårlig divisionsring. I det kommutative tilfælde er dette integritetens domæne , i det ikke-kommutative tilfælde bruges specialtilfældet oftest, når ringen er et skævt felt . I det kommutative tilfælde, i det følgende, kan alle antiautomorfier betragtes som blot automorfier, da disse begreber falder sammen for kommutative ringe.

Definition

Lad være en divisionsring og være en fast

antiautomorfi af denne ring. Så er den -sequilineære form på venstre -modul en bilineær kortlægning , således at for et hvilket som helst af modulet og alle skalarer af følgende gælder:

K

\sigma

\sigma

K

M

\varphi \colon M\times M\to K

x,y

M

\alfa ,\beta

K

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).

Ortogonalt komplement

For en given sesquilineær form på et modul og et

undermodul af modulet er det ortogonale komplement

\varphi

M

W

M

W

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.

På samme måde siges et element at være ortogonalt i forhold til et element i forhold til formen, hvis . Dette betegnes som , eller blot , hvis formen er tydelig fra konteksten. Denne relation er ikke nødvendigvis symmetrisk , det vil sige, den følger ikke af . Hvis for alle følger , så kaldes formen refleksiv . $x \i M$ $y\in M$ $\varphi$ $\varphi (x,y)=0$ $x\perp _{\varphi}y$ $x\perp y$ $x\perp y$ $y\perp x$ $x,y$ $x\perp y$ $y\perp x$

Eksempel

Lade være et tredimensionelt vektorrum over et begrænset felt , hvor er magten af et primtal . Lad to vektorer og gives af koordinater i standardgrundlaget og . Derefter kan kortlægningen defineres med formlen: $V$ $F=\operatørnavn {GF} (q^{2})$ $q$ $x$ $y$ $(x_1,x_2,x_3)$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$ $\varphi$

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{ }^{q}.

Kortlægningen er en automorfi , der er en involution . Kortlægningen er en sesquilineær form. Denne form er hermitisk, og den matrix, der svarer til denne form i standardgrundlaget, er simpelthen identitetsmatrixen . ${\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q))$ $F$ $\varphi$ $\sigma$ ${\displaystyle M_{\varphi ))$

Se også

Noter

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ note 1 i Anthony Knapp Basic Algebra (2007) pg. 255 Arkiveret 31. oktober 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , < https://archive.org/details/finitegeometries0000demb >
Gruenberg, KW & Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2. udgave), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009), Basic Algebra I (2. udgave), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Eksterne ressourcer

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Sesquilinear form , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4