Komplet metrisk plads

Et komplet metrisk rum er et metrisk rum , hvor hver fundamental sekvens konvergerer (til et element i det samme rum) [1] .

I de fleste tilfælde er det de komplette metriske rum, der tages i betragtning. For ufuldstændige rum er der en færdiggørelsesoperation , som gør det muligt at betragte det oprindelige rum som et tæt sæt i sin færdiggørelse. Genopfyldningsoperationen ligner på mange måder lukningsoperationen for undersæt.

Genopfyldning

Ethvert metrisk rum kan indlejres i et komplet rum på en sådan måde, at metrikken udvider metrikken , og underrummet er overalt tæt i . Et sådant rum kaldes en afslutning og betegnes normalt med . $X=(X,\rho)$ $Y$ $Y$ $x$ $x$ $Y$ $Y$ $x$ $\bar X$

Bygning

For et metrisk rum kan man på sættet af fundamentale sekvenser i indføre en ækvivalensrelation $X=(X,\rho)$ $x$

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Sættet af ækvivalensklasser med metrikken defineret $\bar X$

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

er et metrisk rum. Selve rummet er isometrisk indlejret i det på følgende måde: et punkt svarer til klassen af en konstant sekvens . Det resulterende rum vil være færdiggørelsen . $(X,\rho)$ $x\i X$ $x_n=x$ $(\bar X,\bar \rho)$ $x$

Egenskaber

Færdiggørelsen af et metrisk rum er unikt , op til isometri .
Fuldførelsen af et metrisk rum er isometrisk for lukningen af billedet under Kuratowski-indlejringen $M$
Fuldstændighed nedarves af lukkede delmængder af et komplet metrisk rum.
Komplette metriske rum er rum i den anden Baire-kategori . Det vil sige, at hvis den samlede plads er opbrugt af en tællig forening af lukkede sæt, så har mindst en af dem indvendige punkter.
Et metrisk rum er kompakt , hvis og kun hvis det er komplet og fuldstændigt afgrænset ; det vil sige, for ethvert rum kan dækkes af et begrænset antal kugler med radius . $x$ $\varepsilon >0$ $x$ $\varepsilon$
Banachs fikspunktssætning . Sammentrækningskortlægninger af et komplet metrisk rum i sig selv har et fast punkt.
Fuldstændigheden af et metrisk rum er ikke en topologisk egenskab. Det vil sige, at et komplet metrisk rum muligvis ikke er komplet, når metrikken erstattes af en ækvivalent, det vil sige en metrik, der genererer den samme topologi som den oprindelige metrik.
- En topologisk egenskab er tilstedeværelsen af mindst én komplet metrik i klassen af metrikker, der genererer topologien af et metrisk rum (den såkaldte metriske topologiske fuldstændighed eller metrizabilitet med en komplet metrisk).

Eksempler

Komplet metriske mellemrum

Sættet af reelle (reelle) tal er komplet i standardmetrikken . $\mathbb {R}$ $d(x, y) = |x - y|$
Generelt er ethvert finitdimensionelt euklidisk eller enhedsrum komplet [1] .
Fuldstændighedsegenskaben er obligatorisk i definitionen af et Banach-rum , især et Hilbert-rum .
Funktionsrummet kontinuert på et interval med en ensartet metrisk er et komplet metrisk rum, og er derfor et Banach-rum, hvis vi betragter det som et normeret lineært rum.

Ufuldstændige metriske mellemrum

Rationelle tal med standardafstand er et ufuldstændigt metrisk rum. Resultatet af fuldførelsen af denne plads vil være mængden af alle reelle tal . $\mathbb {Q}$ $d(x,y)=|xy|$ $\mathbb {R}$
De rationelle tal kan også udstyres med en p-adisk værdiansættelse , hvis afslutning fører til feltet af p-adic tal . $\mathbb Q_p$
Rummet af integrable (ifølge Riemann) fungerer på et segment i den integrale metriske . Resultatet af at fuldføre dette rum vil være rummet af Lebesgue-integrerbare funktioner defineret på samme interval. $d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Variationer og generaliseringer

Hvis den har en algebraisk struktur i overensstemmelse med metrikken, såsom en topologisk ring , så overføres denne struktur naturligt til dens færdiggørelse. $x$

Noter

↑ 1 2 Shilov, 1961 , s. 40.

Litteratur

Zorich V.A. Matematisk analyse. — T. 2. IX, §5.
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M .: Nauka, 1961. — 436 s.