Gentag grænse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. november 2014; checks kræver 8 redigeringer .

Det er muligt at anvende en grænse på en af variablerne til en funktion af flere variable med faste værdier af de andre variable. Den gentagne grænse er resultatet af at udføre en sådan operation på hver variabel. $f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ $\ {{x}_{k))$

Mens grænsen for en funktion beregnes, da alle argumenter har tendens til deres grænser samtidigt, opnås den gentagne grænse som et resultat af en række successive grænseovergange for hvert argument separat.

Definition

Overvej en funktion af to variable defineret i et eller andet punkteret område af punktet . For hver fast værdi af variablen skal du overveje grænsen: $f\venstre(x,y\højre)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ $x$

\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim} }}\,f\left(x,y\right )

Vi antager, at der eksisterer og er defineret for hver værdi af . Resultatet er en funktion af én variabel. Overvej nu grænsen : $\varphi \left(x\right)$ $x$ $\varphi \left(x\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)

Hvis denne grænse eksisterer, så siger vi, at der er en gentagen grænse for funktionen ved punktet . $EN$ $f\venstre(x,y\højre)$ $\left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

På samme måde kan vi først rette en variabel og tage en grænse for variablen . I dette tilfælde får vi også en gentagen grænse, men generelt set en anden: $y$ $x$

B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Denne definition kan også udvides til funktioner af flere variable . $f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{n}}\right)$

Ligestilling af gentagne grænser

Lad funktionen defineres i et punkteret naboskab af punktet . Hvis der er en (endelig eller ej) dobbelt grænse $f(x,y)$ $(a,b)$

\lim \limits _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A

og hvis der for nogen af de punkterede kvarterer i punktet findes en begrænset grænse for $y$ $-en$ $x$

\varphi (y)=\lim _{x\to a}f(x,y)

så er der en iterativ grænse

$\lim _{y\to b}\varphi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

og lig med det dobbelte.

Se også

Funktionsgrænse

Litteratur

Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitel 14. Funktioner af flere variable // Fundamentals of Mathematical Analysis. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 648 s. — (Kursus i højere matematik og matematisk fysik). - 5000 eksemplarer. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Fikhtengolts, G.M. Kapitel 5. Funktioner af flere variable // Forløb af differential- og integralregning. Bind 1. - M. , 1962. - T. 1. - 608 s. — (Forløb af differential- og integralregning i 3 bind).