Tætheden af stater

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. juni 2019; checks kræver 9 redigeringer .

Tætheden af tilstande er en størrelse, der bestemmer antallet af energiniveauer i en enhedsenergiinterval pr. volumenenhed i det tredimensionelle tilfælde (per arealenhed i det todimensionale tilfælde). Det er en vigtig parameter i statistisk og faststoffysik . Udtrykket kan anvendes på fotoner, elektroner, kvasipartikler i et fast stof osv. Det bruges kun til enkeltpartikelproblemer, det vil sige for systemer, hvor interaktion kan negligeres (ikke-interagerende partikler) eller interaktion kan tilføjes som en forstyrrelse (dette vil føre til en ændring af tætheden af tilstande).

Definition

For at beregne tætheden af tilstande (antallet af tilstande i en enhedsenergiinterval) for en partikel, finder vi først tætheden af tilstande i det reciproke rum (momentum eller -rum). "Afstanden" mellem staterne bestemmes af grænsebetingelserne . For frie elektroner og fotoner i et område eller for elektroner i et krystalgitter med en gitterstørrelse , bruger vi Born-von Karmans periodiske randbetingelser for bølgefunktionen : . Med en fri partikels bølgefunktion får vi relationerne $k$ ${\displaystyle 0<x<L_{x))$ ${\displaystyle L_{x))$ $\psi (x)=\psi (x+L_{x})$ $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}$

2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k

hvor er ethvert heltal og er afstanden mellem stater med forskellige . Lignende forhold gælder for andre kartesiske koordinater ( , ). $N$ $\Delta k$ $k$ $y$ $z$

Det samlede antal -tilstande, der er tilgængelige for en partikel, er mængden af -plads, der er tilgængelig for den, divideret med mængden af -rum, der er optaget af en tilstand. Den tilgængelige volumen er simpelthen integralet fra til . $k$ $k$ $k$ $0$ $k$

Volumenet af -rum for én tilstand i det -dimensionelle tilfælde kan skrives som $k$ $n$

G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{ n}{{\mathbf {k}}}},

hvor er niveauets degeneration (normalt er dette spindegenerationen lig med 2). Dette udtryk skal differentieres for at finde tætheden af tilstande i -rum: . For at finde tætheden af tilstande i form af energi, skal man kende spredningsloven for partiklen, det vil sige at udtrykke og i form af og . For eksempel for en fri elektron: $g_s$ $k$ $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk))\,dk$ $k$ $dk$ $g(k)dk$ $E$ $dE$ $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$ $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

Relateret til en mere generel definition er relationen

D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})

(normalt betyder de en enhedsvolumen, men med den generelle skriveform tilføjes en multiplikator ), hvor indekset svarer til en eller anden tilstand af det diskrete eller kontinuerte spektrum, og er en deltafunktion . Når man går fra summering til integration over dimensionernes faserum , bør man bruge reglen $1/V$ $s$ $\delta$ $2n$

{\displaystyle \sum _{s}\højrepil \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n))))

hvor er Plancks konstant , er momentum, er rumlige koordinater (hvis volumen er enhed, er dette integral udeladt). $\hbar$ $s$ $q$

Eksempler

Tabellen indeholder udtryk for tætheden af tilstande af elektroner med en parabolsk spredningslov :

	Tilgængelig volumen	Volumen for én tilstand	Tætheden af stater
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {{\sqrt {2m^{3}}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z))}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l} }}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

hvor er størrelseskvantiseringsunderbåndsindekset, er Heaviside-funktionen . Formlerne beskriver det tilfælde, hvor kvantisering i en eller flere retninger er forbundet med et eller andet begrænsende potentiale. $l$ $\Theta$

Alle formler for , angivet i kolonnen længst til højre, har dimensionen J -1 m -3 og strukturen "noget udtryk divideret med produktet af de lineære dimensioner af kvantiseringsområdet" - der er lige så mange af disse dimensioner som bevægelsen er begrænset langs koordinaterne. Hvis der ikke laves en sådan opdeling (fjern alle ), så forbliver den med henholdsvis dimensionen [ ] = J -1 m -3 , J -1 m -2 , J -1 m -1 og J -1 , for todimensionelle (2D), endimensionelle (1D) og nuldimensionelle (0D) tilfælde. "Tætheden af stater", afhængigt af konteksten, kan betyde ikke kun , men også . $D(E)$ $\rho (E)$ $L$ $\rho (E)$ $\rho$ $D(E)$ $\rho (E)$

Brug

Tætheden af tilstande fremgår af udtrykkene til beregning af koncentrationen af partikler med deres kendte energifordeling. For fermioner , som er elektroner, under ligevægtsbetingelser, svarer denne fordeling til Fermi-Dirac-statistikker , og for bosoner , herunder fotoner, til Bose-Einstein-statistikker .

Lad os sige, at koncentrationerne af elektroner ( huller ) i ledningsbåndet ( valensbåndet ) af en halvleder ved ligevægt beregnes som

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^ {E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE

hvor er Fermi-funktionen, ( ) er energien i bunden af ledningsbåndet ( toppen af valensbåndet ). Som her skal formlen for et objekt med den passende dimension erstattes: for tykkelsen af materialet (og så vil koncentrationerne være i m -3 ), for kvantebrønden (og så får vi koncentrationen i m - 2 ), for kvantetråden (vi får koncentrationen i m -1 ) eller (i tilfælde af en kvanteprik får vi ikke koncentrationen, men antallet af partikler). $F$ $E_{c}$ $E_{v}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{3D))$ $\rho _{2D}$ $\rho _{1D}$ $\rho _{0D}$

Eksterne links

Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Arkiveret 14. maj 2011 på Wayback Machine

Tætheden af ​​stater

Definition

Eksempler

Brug

Eksterne links

Tætheden af stater