Periodogram

Et periodogram er et estimat af den spektrale effekttæthed (PSD) baseret på beregning af det kvadratiske modul af Fourier-transformationen af en datasekvens. Hvis vægtfunktionen ( vinduet ) bruges i beregningen af PSD, så kaldes det opnåede estimat af PSD et modificeret periodogram [1] . Periodogrammet er ikke et konsistent estimat af PSD, da variansen af et sådant estimat er sammenlignelig med kvadratet af dets matematiske forventning. Efterhånden som antallet af anvendte tællinger stiger, begynder periodogramværdierne at svinge hurtigere og hurtigere.

Matematisk beskrivelse

Der er flere definitioner af begrebet periodogram i litteraturen. En af dem er relateret til gennemsnittet af det kvadratiske modul af Fourier-transformationen over en bestemt prøve af målinger [2] :

$S_{T}(\omega )=E\venstre[{\frac {|X_{T}(i\omega )|^{2}}{T_{r}}}\right]$

hvor er amplituden af Fourier-transformationen af funktionen på et begrænset tidsinterval, er endelighedsintervallet, er den statistiske gennemsnitsoperator ( forventning ). $X_{T}(i\omega )$ $x(t)$ $T_{r}$ $E(...)$

Men i den engelsksprogede litteratur [3] og i populære softwareimplementeringer [4] [5] er det som regel blot kvadratet af Fourier-transformationens amplitudemodul. Tidsgennemsnit i sådanne klassifikationer er tildelt metoderne ifølge Bartlett og Welch [6] .

Historisk information

Udtrykket periodogram blev første gang nævnt af Arthur Schuster i 1898 [8] . Schuster anvendte periodogrammet til at finde periodiciteter i optegnelser over meteorologiske observationer , registreringer af magnetisk deklination og en række solplettal . Han udførte en forbehandling af månedlige gennemsnitlige solplettal fra 1749 til 1894. Periodogramanalyse gjorde det muligt at give et skøn over solpletcyklussen på 11.125 år. Schuster påpegede talrige vanskeligheder forbundet med beregningen af periodogrammet og dets karakteristiske træk. Ved at ændre tidens oprindelse opnåede han periodogrammønstre med forskellige uregelmæssige ændringer, og disse periodogrammer indeholdt nogle gange falske toppe (Schuster kaldte dem "tilfældige periodiciteter"), hvor der i virkeligheden ikke eksisterede nogen periodicitet. Schuster vidste fra sin erfaring i den harmoniske analyse af optiske spektre , at gennemsnittet af værdierne opnået for forskellige segmenter af datasekvensen er nødvendigt for at udglatte periodogrammet (at opnå et "gennemsnitligt periodogram" i hans terminologi) og eliminere falske toppe. Og selvom Schuster etablerede behovet for gennemsnit, krævede dens praktiske implementering beregningsværktøjer langt ud over de tekniske muligheder, der var til rådighed på det tidspunkt. Schuster erkendte også, at sidelober (som han kaldte "falske periodiciteter") omkring hovedlapperne i et periodogram er et iboende træk ved enhver metode til Fourier -analyse af dataposter med endelig længde.

Mange forskere fra begyndelsen af forrige århundrede mente, at periodogrammer beregnet ud fra støjende data ville have betydelige fejl og slet ikke ville indeholde nogen dominerende toppe, hvilket kunne indikere tilstedeværelsen af periodiciteter i de analyserede data. Desuden blev dette anset for rimeligt, selv når længden af dataposten steg betydeligt. Eksempler på sådanne periodogrammer er vist i figuren, som viser, at ved brug af flere og flere dataprøver begynder periodogrammet at svinge mere og mere. Alt dette førte til det faktum, at interessen for periodogrammer i flere årtier blev betydeligt svækket, og dette kan hovedsagelig kun forklares ved, at de fleste forskere forsømte gennemsnittet foreslået af Schuster. Slutsky og noget senere Daniell fastslog uafhængigt, at fluktuationer i et hvidt støjperiodogram har samme størrelse som middelværdien af selve periodogrammet. Disse udsving viste sig for det meste at være ukorrelerede for tilstødende frekvenser. Slutsky og Daniell foreslog, at periodogramudsving kan reduceres ved at lægge et gennemsnit over tilstødende frekvenser. Denne idé ligger til grund for en af periodogramudjævningsmetoderne.

Se også

Litteratur

Marple Jr. SL Digital spektralanalyse og dens anvendelser . - M . : MIR, 1990. - S. 584. Arkivkopi dateret 24. januar 2009 på Wayback Machine

Hayes MH Statistisk digital signalbehandling og modellering. — John Wiley & Sons, 2009.

Iphicher E., Jervis B. Digital Signal Processing: A Practical Approach. - 2. - M. : Williams, 2004. - S. 992. - ISBN 5-8459-0710-1 (russisk).
Shakhtarin B. I., Kovrigin V. A. Metoder til spektral estimering af tilfældige processer. - M . : Helios ARV, 2005. - S. 248. - ISBN 5-85438-136-2 .
Sergienko AB Digital signalbehandling. - 2. - Sankt Petersborg. : Peter, 2006. - S. 751. - ISBN 5-469-00816-9 .

Periodogram

Matematisk beskrivelse

Historisk information

Se også

Litteratur

Links