Periodisk tilstand

En periodisk tilstand er en tilstand af en Markov-kæde, der kun besøges af kæden med tidsintervaller, der er multipla af et fast tal.

Tilstandsperiode

Lad en tidsdiskret homogen Markov-kæde med overgangssandsynlighedsmatrix gives . Specielt for enhver , er matrixen matrixen af overgangssandsynligheder pr . trin. Lad os overveje en sekvens . Nummer $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ $P$ $n\in \mathbb {N}$ $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ $n$ $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$

d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)

hvor betegner den største fælles divisor , kaldes tilstandsperioden . $\gcd$ $j$

Bemærk

Således er statens periode , hvis fra den kendsgerning, at , følger det, at er delelig med . $j$ $d(j)$ $p_{jj}^{(n)}>0$ $n$ $d(j)$

Periodiske tilstande og kæder

Hvis , så kaldes tilstanden periodisk . Hvis , så kaldes tilstanden aperiodisk . $d(j)>1$ $j$ $d(j)=1$ $j$

Perioderne for kommunikerende stater falder sammen:

(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))

Således er perioden for enhver uopløselig klasse af Markov-kæden defineret og lig med perioden for enhver af dens repræsentanter. I overensstemmelse hermed er klasserne opdelt i periodiske og aperiodiske.

Hvis en Markov-kæde er uopløselig, så falder perioderne for alle dens stater sammen, og den fælles værdi, de tager, kaldes kædens periode. En kæde kaldes periodisk, hvis dens periode er større end én, og aperiodisk ellers.

Klassificering af stater og Markov-kæder
Stat	aperiodisk returneres opnåelige uigenkaldelig ubetydelig nul periodisk positiv kommunikerer væsentlig
Lænke	aperiodisk returneres uigenkaldelig uopløselige nul tidsskrift positiv nedbrydeligt ergodisk