Uvildig estimator

Et uvildigt estimat i matematisk statistik er et punktestimat, hvis matematiske forventning er lig med den estimerede parameter.

Definition

Lad være en prøve fra fordelingen afhængigt af parameteren . Så kaldes estimatet unbiased if ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\theta \i \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\venstre[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

hvor

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — matematisk forventning ;
$\for alle$ er den universelle kvantifier .

Ellers kaldes estimatet bias, og den stokastiske variabel kaldes dens bias . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Eksempler

Stikprøvegennemsnittet er et upartisk estimat af den matematiske forventning , da hvis , , så . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Lad uafhængige stokastiske variable have endelig varians . Lad os lave estimater $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \right)^{2}

er prøvevariansen ,

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ højre)^{2}

er den korrigerede prøvevarians .

Så er de forspændte og upartiske estimater af parameteren . Forspændingen kan bevises på følgende måde. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Lad og vær henholdsvis middelværdien og dens skøn, så: $\mu$ $\overline {X}$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatørnavn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-{\overline {X)))^{2}{\bigg ]}.

Hvis vi tilføjer og trækker fra og derefter grupperer termerne, får vi: $\mu$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatørnavn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Lad os firkante det og få:

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatørnavn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Bemærk , at vi får: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu )$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatørnavn {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

I betragtning af det

$\operatørnavn {E} [a+b]=\operatørnavn {E} [a]+\operatørnavn {E} [b]$ (egenskab for matematisk forventning);
$\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ bigg ]}=\sigma ^{2}$ - spredning ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , fordi , under hensyntagen til det og er uafhængige og , dvs. , $\operatørnavn {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatørnavn {E} {\big [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatørnavn {E } {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ stor ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ $\operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatørnavn {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\operatørnavn {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0$

vi får:

{\begin{aligned}\operatørnavn {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatørnavn {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}

Litteratur og nogle referencer

MG Kendall. "Den avancerede teori om statistik (bd. I). Fordelingsteori (2. udgave)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall og A. Stuart. "Den avancerede teori om statistik (vol. II). Inferens og forhold (2. udgave)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Sandsynlighed, stokastiske variable og stokastiske processer (3. udgave). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. "Sandsynligheder, analyser af données og statistiques". Editions Technip, Paris, 1990.
JF Kenney og ES Keeping. Statistiks matematik. Del I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV Blagouchine og E. Moreau: "Ubiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 57, nr. 9, s. 3330-3346, september 2009.
Et oplysende modeksempel