Harnacks ulighed

Harnacks ulighed - hvis en funktion , der er harmonisk i en dimensionel kugle med radius centreret på et tidspunkt, er ikke-negativ i denne kugle, så gælder følgende uligheder for dens værdier på punkter inde i kuglen, der overvejes: , hvor . $U(M)=U(x_{1},...,x_{k})$ $k$ $Q_{R}$ $R$ $M_{0}$ $M$ $R^{{k-2}}{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{{ k-2)){\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1))))U(M_{0})$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Bevis

I kraft af Poisson-formlen for point inde i bolden har vi . Under hensyntagen til ulighederne , på grund af den betingelse, vi får herfra , eller ved at anvende Gauss-sætningen . Når vi går til grænsen ved , opnår vi Harnacks ulighed . $M$ $Q_{{R'}}(R'<R)$ $U(M)={\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}R'}}\int \limits _{{\gamma }}(Q_{{R' ))U(N){\frac {{R'}^{{2}}-r^{2}}{({R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \ theta )^{{r/2}}}}d\sigma$ $(R'-r)^{2}\leqslant {R'}^{2}+r^{2}-2R'r\cos \theta \leqslant (R'+r)^{2}$ $U(N)\geqslant 0$ ${R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}{R'}^{{k-1}}}}\int \limits _{\gamma }(Q_{{R'}}) U(N)d\sigma \leqslant U(M)\leqslant {R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R' -r)^{k))}{\frac {\Gamma (k/2)}{2\pi ^{{k/2}}{R'}^{{k-1}}}}\int \ grænser _{\gamma }(Q_{{R')))U(N)d\sigma$ ${R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'+r)^{k}}}U(M_{0} )\leqslant U(M)\leqslant {R'}^{{k-2}}{\frac {{R'}^{2}-r^{2}}{(R'-r)^{k }}}U(M_{0})$ $R'\højrepil R$ $R^{{k-2}}{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}U(M_{0})\leqslant U(M)\leqslant R^{{ k-2)){\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1))))U(M_{0})$

Litteratur

Timan A. F., Trofimov V. N. Introduktion til teorien om harmoniske funktioner, M., Nauka , 1968, 206 sider, skydebane 39500 eksemplarer.