Naturlige ligninger

Naturlige ligninger - relationer om krumning og torsion af biregulære kurver . En bemærkelsesværdig egenskab ved naturlige ligninger er, at man entydigt kan rekonstruere en kurve ud fra dem. Naturlige ligninger, ligninger, der udtrykker krumningen og vridningen af en kurve som funktion af dens bue: , . Navnet "Naturlige ligninger" forklares ved, at funktionerne og $k$ $\varkappa$ $k=k(s)$ $\varkappa =\varkappa (s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$ ikke afhænger af kurvens position i rummet (af valget af koordinatsystem), men afhænger kun af kurvens form. To tre gange kontinuerligt differentierbare kurver med de samme naturlige ligninger kan kun afvige fra hinanden i deres position i rummet. Med andre ord er formen af en kurve entydigt bestemt af dens naturlige ligninger. Hvis der er givet to kontinuerte funktioner , hvoraf den første er positiv, så eksisterer der altid en kurve, for hvilken disse funktioner er henholdsvis krumning og torsion. $k(s)$ $\varkappa(s)$

Naturlige ligninger af plane kurver

Lad være en vilkårlig glat funktion. I dette tilfælde eksisterer der en kurve , som er unik op til orienteringsbevarende bevægelse af planet, parametriseret af en naturlig parameter , og sådan, at på alle punkter af kurven. Her er mængden den orienterede krumning af kurven . $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)=k_{o}(s)$ $k_{o}(s)$ $\gamma$

Naturlige ligninger i tre dimensioner

Lad og være to vilkårlige glatte funktioner, og vær positiv. Så eksisterer der en kurve parametriseret af den naturlige parameter , hvis krumning og torsion er ens i hvert punkt og hhv. En sådan kurve er unik op til en bevægelse af rummet, der bevarer orienteringen. $f(s)$ $g(er)$ $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)$ $g(er)$