Matricant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. april 2014; verifikation kræver 1 redigering .

Matricant er en grundlæggende matrix af løsninger til et system af almindelige differentialligninger $X(t)$

x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad A(t)

er en én-parameter familie af matricer.

normaliseret på punktet . ( Cauchy-matricen af et system af differentialligninger kaldes også nogle gange en matrixant.) $t_0$

Matricanten er den eneste kontinuerlige løsning på matrix Cauchy-problemet

X'=A(t)X

, ( er identitetsmatrixen )

X(t_{0})=I

jeg

hvis matrixfunktionen kan summeres lokalt på et eller andet interval. $På)$

Enhver løsning af systemet skrives som . $x(t)$ $x(t)=X(t)x(t_{0})$

Rækkerepræsentation

Matrixanten har serieudvidelsen

X(t)=I+\int _{t_{0}}^{t}A(t_{1})dt_{1}+\int _{t_{0}}^{t}A(t_ {1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}A(t_{2})dt_{2}dt_{1}+\ldots =

=I+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\;\int \limits _{t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}<t}\prod \limits _{k=1}^{n}A(t_{k})\prod \limits _{k=1}^{n}dt_{k}

Eksponentrepræsentation

Hvis matrixen opfylder Lappo-Danilevsky-betingelsen: $A(t)$

[\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds,A(t)]=0,

hvor er en kommutator, så vil matrixanten have formen: $[\cdot ,\cdot ]$

X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds}

Generelt kan løsningen skrives i form af T-eksponenten :

X(t)=\mathrm {Texp} \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)ds\right)

Matrixant determinant

Matrixantdeterminanten er Wronsky-determinanten for det fundamentale normaliserede system af løsninger af den tilsvarende differentialligning. Det opfylder Liouville-Ostrogradsky-formlen

W_{n}(t)=\det X(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds }

Derefter, under hensyntagen til Liouville-Ostrogradsky-formlen for Wronsky-determinanten for et vilkårligt system af løsninger, vil den have formen: $x(t)=X(t)x(t_{0})$

W(t)=W(t_{0})e^{\int _{t_{0}}^{t}\mathop {\rm {tr}} \;A(s)ds}.

Litteratur

Matematisk encyklopædi Ed. kollegium: I. M. Vinogradov (redaktør) [og andre] M., "Sovjet Encyclopedia", 1977-1985.

A.N. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, A.G. Sveshnikov. Kursus i højere matematik og matematisk fysik. Differentialligninger. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .