M-scorer

Maximum likelihood estimates (MLE'er) bestemmes af en af følgende betingelser:

\sum _{i}\ln P_{i}\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i}{\frac {\partial \ln P_{i)) {\partial \theta }}=0,\qquad \sum _{i}{\frac {P_{i}'}{P_{i}}}=0

hvor i tilfælde af en ikke-grupperet prøve , og i tilfælde af en grupperet prøve, $P_{i}=f(x_{i},\theta )$ $P_{i}=\left(\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{i}}f(x,\theta)\,\mathrm {d} x\right)^ {n_{i}}$

M-estimater - der er en vis generalisering af masseødelæggelsesvåben. De defineres på samme måde af en af relationerne:

$\sum _{i=1}^{N}\rho (x_{i},\theta )\to \max _{\theta \in \Theta },\qquad \sum _{i=1} ^{N}\phi (x_{i},\theta )=0$

Hvis vi pålægger en regularitetsbetingelse i substitutionen og differentierer den med hensyn til 0: $F_{t,x}=(1-t)F+t\Delta _{x}$ $t$

0={\frac {\partial }{\partial {t))}\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} F_{t,x}

0=\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}IF\,\mathrm {d} F_{t,x} +\int \phi (x,T(F_{t,x}))\,\mathrm {d} {\frac {\partial ((1-t)F+t\Delta _{x})}{\ delvis t}}

0=IF\int {\frac {\partial \phi (x,T(F_{t,x}))}{\partial \theta }}\,\mathrm {d} F_{t,x} +\phi (x,T(F_{t,x}))

så er det ikke svært at få udtryk for indflydelsesfunktionen for M-estimater : $IF={\frac {-\phi (x)}{\int \phi '_{\theta }(x)\,\mathrm {d} F))$

Dette udtryk giver os mulighed for at konkludere, at M-estimaterne er ækvivalente op til en konstant faktor, der ikke er nul.

Det er let at kontrollere, at for MLE i standard normalfordelingsloven ser indflydelsesfunktionerne af henholdsvis skiftparameteren og skalaparameteren ud: ${\mathcal {N}}(0,1)$ $IF$

IF=x,\quad IF={\frac {1}{2}}\;x^{2}-{\frac {1}{2}}

Disse funktioner er ubegrænsede, hvilket betyder, at MLE ikke er robust med hensyn til B-robusthed.

For at rette op på dette begrænser M-estimater kunstigt og derfor begrænser det (se udtrykket for M-estimater), og sætter en øvre barriere for påvirkningen af outliers (langt fra de forventede værdier af parametrene) observationer. Dette gøres ved at introducere de såkaldte trunkerede M-estimater, defineret ved udtrykket: $IF$ $IF$

$\phi _{b}(z)=\venstre\{{\begin{array}{lr}\phi (b),&b<z\\\phi (z),&-b<z\leqslant b\\\phi (-b),&z\leqslant -b\end{array}}\right.$

hvor og er estimater af henholdsvis skift- og skalaparametrene. $z={\frac {x-\theta }{S}}$ $\theta$ $S$

Blandt de trunkerede M-estimater er de trunkerede MLE optimale ud fra et B-robusthedssynspunkt.

Se også

Robusthed i statistik

Kilder

Robert G. Staudte: Robust estimering og test . Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
Rand R. Wilcox: Introduktion til robust estimering og hypotesetestning . Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3