Gauss' lemma om kvadratiske rester

Gauss' lemma gør det muligt at bestemme, om et tal er en kvadratisk rest modulo et primtal .

Ordlyd

Tag en enkel og naturlig sådan, at . Lad os se på resten af tallene modulo . Lad blandt dem rester større end , så ( Legendres symbol bruges her ). $s$ $-en$ $(a,p)=1$ $a,2\cdot a,3\cdot a,\dots {\frac {p-1}{2}}\cdot a$ $s$ $v$ $\frac{p}{2}$ $\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{v}$

Bevis

Lad os overveje arbejdet . Lad os erstatte tallene større end modulo med . Så tager vi den ud til venstre og får produktet af nogle tal modulo , som er forskellige modulo ( ) og giver en rest mindre end , så dette produkt kan sammenlignes med . Så kan vi forkorte vores sammenligning med og få det . Ifølge Eulers kriterium . [en] $a\cdot 2a\cdot 3a\cdots {\frac {p-1}{2}}\cdot a\equiv \left({\frac {p-1}{2}}\right)!\cdot a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}$ $k\cdot a$ $\frac{p}{2}$ $s$ $(-1)\cdot (pk\cdot a)$ ${\displaystyle (-1)^{v))$ ${\frac {p-1}{2}}$ $s$ $s$ $(m\pm n)\cdot a\not \equiv 0{\pmod {p))$ $\frac{p}{2}$ $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ $\left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ $(-1)^{v}\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p))$ $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}$

Noter

↑ Davenport G. Højere aritmetik. En introduktion til talteori . — ISBN 539701298X . — ISBN 9785397012980 . Arkiveret 30. september 2017 på Wayback Machine