Borel-Cantelli Lemma

Borel-Cantelli-lemmaet i sandsynlighedsteori er et resultat vedrørende en uendelig række af begivenheder. Lemmaet bruges ofte til at bevise grænsesætninger. Lemmaet er normalt opdelt i to påstande, kaldet det første og det andet Borel-Cantelli-lemma.

Første Lemma

Lad et sandsynlighedsrum og et hændelsesforløb angives . Betegn $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\right)

Så hvis serien konvergerer, så . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

Andet lemma

Hvis alle begivenheder er fælles uafhængige , og serien divergerer, så . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Bemærk

I det første Borel-Cantelli-lemma er uafhængighed af begivenheder ikke påkrævet.

Se også

Loven om nul eller en ;
Uendelig abesætning ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Kuratowski-konvergens

Borel-Cantelli Lemma

Første Lemma

Andet lemma

Bemærk

Se også

Links