Kritisk punkt (matematik)

Det kritiske punkt for en differentierbar funktion er det punkt, hvor dens differentiale forsvinder. Denne betingelse svarer til, at på et givet punkt forsvinder alle partielle afledte af første orden, geometrisk betyder det, at tangenthyperplanet til funktionens graf er vandret. I det simpleste tilfælde, n = 1, betyder det, at den afledede på dette tidspunkt er lig nul. Denne betingelse er nødvendig (men ikke tilstrækkelig) for at et indre punkt i regionen er et punkt med lokalt minimum eller maksimum for en differentierbar funktion [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $f'$

Begrebet et kritisk punkt kan generaliseres til tilfældet med differentierbare kortlægninger og til tilfældet med differentierbare kortlægninger af vilkårlige manifolds . I dette tilfælde er definitionen af et kritisk punkt, at rangeringen af den jakobiske matrix af kortlægningen i den er mindre end den maksimalt mulige værdi lig med . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\til M^{m}$ $f$ $\min\{n,m\}$

Kritiske punkter for funktioner og kortlægninger spiller en vigtig rolle inden for matematikkens områder såsom differentialligninger , variationskalkyler , stabilitetsteori samt inden for mekanik og fysik. Studiet af kritiske punkter i glatte kortlægninger er et af hovedspørgsmålene i katastrofeteori . Forestillingen om et kritisk punkt er også generaliseret til tilfældet med funktionaler defineret på uendelig-dimensionelle funktionsrum. At finde kritiske punkter for sådanne funktionaler er en vigtig del af variationsregningen . Kritiske punkter i funktionaler (som igen er funktioner) kaldes ekstremaler .

Formel definition

Et kritisk (eller ental eller stationært ) punkt i en kontinuerligt differentierbar afbildning er et punkt , hvor differentialet for denne afbildning er en degenereret lineær transformation af de tilsvarende tangentrum, og det vil sige, at dimensionen af billedet af transformationen er mindre [ 2] . I koordinatnotation betyder det, at jakobisk - determinanten for den jakobiske matrix af kortlægningen , sammensat af alle partielle afledte - forsvinder i et punkt [ 2] . Mellemrummene i denne definition kan også erstattes af manifolds af samme dimensioner. $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x))$ $T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ $f_{*}(x_{0})$ $\min\{n,m\}$ $n=m$ $f$ ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Sards sætning

Værdien af en kortlægning på et kritisk punkt kaldes dens kritiske værdi . Ifølge Sards teorem [3] har sættet af kritiske værdier for enhver tilstrækkeligt jævn kortlægning nul Lebesgue-mål (selvom der kan være så mange kritiske punkter, som du vil, for eksempel for en identisk konstant kortlægning, er ethvert punkt kritisk ). $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$

Konstante rangeringstilknytninger

Hvis rangeringen af en kontinuerligt differentierbar mapping i et område af et punkt er lig med det samme tal , så er der i nærheden af dette punkt lokale koordinater med centrum ved , og i nærheden af dets billede - punktet - er der lokale koordinater med centrum ved , sådan at afbildningen i dem er givet af relationerne [4] [5] : $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots,y_{m})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.$

Især hvis , så er der lokale koordinater med centrum ved og lokale koordinater med center ved , sådan at kortlægningen er identisk i dem. $r=n=m$ $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y_0$ $f$

Tilfælde m = 1

I tilfælde af, at denne definition betyder, at gradienten på et givet punkt forsvinder. $m=1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots,f'_{{x_{n}}})$

Antag, at funktionen har en glathedsklasse på mindst . Et kritisk punkt for en funktion f kaldes ikke -degenereret , hvis hessian ved det er ikke-nul. I et kvarter til et ikke-degenereret kritisk punkt er der koordinater, hvor funktionen f har en kvadratisk normalform ( Morses lemma ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigr |}$

En naturlig generalisering af Morse-lemmaet for degenererede kritiske punkter er Toujron-sætningen: i nærheden af et degenereret kritisk punkt af en funktion f , der kan differentieres et uendeligt antal gange ( ) af endelig multiplicitet , eksisterer der et koordinatsystem, hvor en glat funktion har form af et gradpolynomium ( vi kan tage Taylor-polynomiet af funktionen ved punktet i oprindelige koordinater) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}}(x)$ $f(x)$ $0$

For , spørgsmålet om maksimum og minimum af funktionen giver mening. Ifølge den velkendte udsagn om matematisk analyse kan en kontinuerligt differentierbar funktion defineret i hele rummet eller i dets åbne delmængde kun nå et lokalt maksimum (minimum) på kritiske punkter, og hvis punktet er ikke-degenereret, så kan matrixen i det skal være negativt (positivt) bestemt . Sidstnævnte er også en tilstrækkelig betingelse for et lokalt maksimum (henholdsvis minimum) [1] . $m=1$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f} {\partial x_{i}\partial x_{j))}{\Bigr )},$ $i,j=1,\ldots ,n,$

Tilfælde n = m = 2

I tilfældet n=m=2 har vi en afbildning f af et plan på et plan (eller en 2-manifold på en anden 2-manifold). Antag, at afbildningen f er differentierbar et uendeligt antal gange ( ). I dette tilfælde er de typiske kritiske punkter for f dem, hvor determinanten af Jacobi-matricen er nul, men dens rang er 1, og derfor har differentialet af f i sådanne punkter en endimensionel kerne . Den anden typiskhedsbetingelse er, at i nærheden af det betragtede punkt på før-billedplanet, danner sættet af kritiske punkter en regulær kurve S , og på næsten alle punkter af kurven S rører kernen ikke S , og de punkter, hvor dette ikke er tilfældet, er isolerede og i dem har tangensen første orden. Kritiske punkter af den første type kaldes foldepunkter , og den anden type kaldes spidspunkter . Folder og folder er de eneste typer singulariteter af plan-til-plan-kortlægninger, der er stabile med hensyn til små forstyrrelser: under en lille forstyrrelse bevæger folder og folder sig kun lidt sammen med deformationen af kurven S , men gør det ikke forsvinde, ikke degenerere, og ikke smuldre i andre singulariteter. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\ker \,f_{*}$ $\ker \,f_{*}$

Whitneys teorem. Hvis er et foldepunkt eller et spidspunkt, så har dets kvarterer lokale koordinater med centrum ved , og i nærheden af dets billede er der lokale koordinater med centrum ved , sådan at kortlægningen i dem er givet af relationerne $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ $(y_{1},y_{2})$ $y_0$ $f$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (folde),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (montage).

Denne teorem blev bevist af Hassler Whitney i 1955 [9] og blev et af de første resultater af katastrofeteori [10] . En moderne version af beviset for denne sætning, baseret på anvendelsen af senere resultater i teorien om singulariteter af differentiable afbildninger, er givet for eksempel i [11] .

Whitneys sætning viser, at foldning og samling realiseres som træk ved at projicere en glat overflade, givet i rummet ved ligningen , på et plan (vandret plan i figuren) langs en akse (lodret akse i figuren). I normale koordinater fra Whitneys sætning er funktionen for fold og for fold. Sættet af kritiske punkter (kurve S på overfladen F = 0) er vist med rødt, og dets billede på billedplanet er vist i magenta. I tilfælde af samling har billedet af kurven S en funktion, der kaldes en cusp (eller cusp). $(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $(x_{2},y_{1})$ $x_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{2}-y_{1))$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Se også

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable mappings, - Enhver udgave.
Zorich V. A. Matematisk analyse, - Enhver udgave.
Brecker T., Lander L. Differentierbare bakterier og katastrofer, - Enhver udgave.
N.G. Pavlova, A.O. Remizov . Glatte funktioner, formelle serier og Whitneys sætninger . Måtte. red., 2016, nr. 3(79), 49–65.
N.G. Pavlova, A.O. Remizov . Glatte funktioner, formelle serier og Whitneys sætninger (endelig) . Måtte. arr., 2017, nr. 3(83), 13–27.

Noter

↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analyse, bind 1 - Enhver udgave, kap. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematisk analyse, bind 1 - Enhver udgave, kap. VIII, stk. fire.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, afsnit 2.
↑ Zorich V. A. Matematisk analyse, bind 1 - Enhver udgave, kap. VIII, stk. 6 (rangsætning).
↑ Brecker T., Lander L. Differentierbare bakterier og katastrofer, - Enhver udgave.
↑ Zorich V. A. Matematisk analyse, bind 1 - Enhver udgave, kap. VIII, stk. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings.
↑ A. M. Samoilenko, Om ækvivalensen af en glat funktion til et Taylor-polynomium i et kvarter af et kritisk punkt af endelig type, Funkts. analyse og dens anvendelser, 2:4 (1968), s. 63-69.
↑ Whitney H. Om singulariteter af kortlægninger af euklidiske rum. I. Kortlægninger af flyet ind i planet. Annals of Mathematics, Second Series, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, afsnit 1.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Glatte funktioner, formelle serier og Whitneys sætninger (endelig) . Matematisk uddannelse , 2017, nr. 3(83), 13–27.