Eudoxus kurve

Eudoxus-kurven ( græsk : καμπύλη [γραμμή], som oversættes til "kurve [linje]") er en kurve med en ligning i kartesiske koordinater

x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),

hvorfra løsningen x = y = 0 er udelukket .

Alternative parametreringer

I det polære koordinatsystem har Eudoxus-kurven ligningen

r=a\sec ^{2}\theta .

Tilsvarende har kurven en parametrisk repræsentation

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

Historie

Denne kurve af fjerde grad blev studeret af den græske astronom og matematiker Eudoxus af Cnidus (408-347 f.Kr.) i forbindelse med det klassiske problem med at fordoble terningen .

Egenskaber

Eudoxus-kurven er symmetrisk om både x -aksen og y -aksen . Den skærer x - aksen i punkter (± a ,0). Kurven har bøjningspunkter

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

(fire bøjningspunkter, et i hver kvadrant). Den øverste halvdel af kurven nærmer sig asymptotisk som , og faktisk kan vi skrive $x^{2}/aa/2$ $x\til \infty$

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac { x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x} }\right)^{2n},

hvor

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

er det catalanske nummer . $n$

Noter

Litteratur