Konstruktivt bevis

Et konstruktivt bevis er et bevis , hvor eksistensen af et matematisk objekt bevises ved direkte konstruktion - i modsætning til et ikke-konstruktivt bevis (også kendt som en ren eksistenssætning ), som beviser eksistensen af et objekt med visse egenskaber uden at give et konkret eksempel.

Konstruktiv matematik afviser alt andet end konstruktive beviser. Dette fører til en begrænsning af de tilladte bevismetoder (især anvendes ikke loven om den udelukkede midterste ), samt en anden forståelse af begreberne. For eksempel har udtrykket "eller" en stærkere betydning i konstruktiv matematik end i klassisk matematik.

Det tilsvarende udtryk "effektivt bevis" bruges nogle gange [1] .

Eksempler

Uendelighed af primtal

Overvej først sætningen om, at der er et uendeligt antal primtal . Euklids bevis er konstruktivt.

Imidlertid er den almindelige forenkling af dette bevis, som udføres ved modsigelse ud fra antagelsen om, at der kun er et endeligt antal primtal, ikke konstruktiv.

Ikke-konstruktivt bevis

Antag at M er det største primtal. Så M! + 1 er ikke deleligt med nogen af de tilgængelige primtal, og dermed et nyt primtal.

Konstruktivt bevis

Lad os tage et primtal, for eksempel a 1 = 2 . Vi bygger en sekvens a 2 = 2! + 1 , a 3 = a 2 ! + 1 osv. Alle disse tal vil være primtal.

Den irrationelle grad af det irrationelle

Overvej nu sætningen

Der er irrationelle tal og dem, der er rationelle . $-en$ $b$ $a^{b}$

Denne sætning kan bevises konstruktivt og ikke-konstruktivt.

Ikke-konstruktivt bevis

Følgende bevis af Dov Jarden fra 1953 har været meget brugt som eksempel på et ikke-konstruktivt bevis siden mindst 1970 [2] .

Husk det er irrationelt . Bemærk, at det er rationelt eller irrationelt. Hvis rationel, så er sætningen sand, med og . Hvis irrationel, så er sætningen sand, med og siden ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}$ $b={\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $b={\sqrt {2}}$

({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

Dette bevis er ikke konstruktivt, fordi det bygger på påstanden om, at ethvert tal er rationelt eller irrationelt. Dette er et eksempel på anvendelsen af loven om den udelukkede midterste , som ikke er gyldig under konstruktivt bevis.

Bemærk, at det ikke-konstruktive bevis ikke giver et eksempel på og ; det giver kun nogle få muligheder (to i dette tilfælde) og viser, at en af dem er det ønskede eksempel, men siger ikke hvilken. $-en$ $b$

Faktisk irrationelt af Gelfond-Schneider-sætningen , men dette faktum har intet at gøre med gyldigheden af det ikke-konstruktive bevis ovenfor. ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$

Konstruktivt bevis

Lade

a={\sqrt {2)),\quad b=\log _{2}9,\quad {\text{then))\quad a^{b}=3.

Begge tal er irrationelle; er kvadratroden af 2 og hvis , så , hvilket er umuligt, da det første tal er ulige og det andet er lige. $-en$ $b={\tfrac {m}{n))$ ${\displaystyle 3^{2\cdot n}=2^{m))$

Se også

Noter

↑ Praksis er sandhedskriteriet i videnskaben. - M . : Forlag for socioøkonomisk litteratur, 1960. - S. 151.
↑ Dov Jarden. Et simpelt bevis på, at en potens af et irrationelt tal til en irrationel eksponent kan være rationel // Scripta Mathematica. - 1953. - Nej. 19 . — S. 229 .