Kointegration

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. juli 2019; checks kræver 10 redigeringer .

Kointegration er en egenskab ved flere ikke-stationære ( integrerede ) tidsserier , som består i eksistensen af nogle af deres stationære lineære kombinationer . Begrebet kointegration blev først foreslået af Granger i 1981. I fremtiden blev denne retning udviklet af Angle , Johansen, Philips og andre.

Kointegration er en vigtig egenskab ved mange økonomiske variable, hvilket betyder, at på trods af den tilfældige (dårligt forudsigelige) karakter af ændringen i individuelle økonomiske variabler, er der en langsigtet sammenhæng mellem dem, hvilket fører til nogle fælles, indbyrdes forbundne forandringer. Faktisk taler vi om en fejlkorrektionsmodel (ECM - Error Correction Model) - når kortsigtede ændringer korrigeres afhængig af graden af afvigelse fra den langsigtede sammenhæng mellem variable. Denne adfærd er iboende i kointegrerede tidsserier.

Definitioner

Kointegration. Kointegrationsligning

Formel definition. Lad være et sæt af tidsserier, som hver især er en integreret proces af første orden . Disse tidsserier siges at være kointegrerede , hvis der eksisterer en vektor , således at tidsserien er en stationær proces , dvs. Vektoren kaldes den kointegrerende vektor . Det er klart , at multiplikation af en kointegrerende vektor med et vilkårligt tal ændrer ikke denne vektors kointegrerende karakter (da multiplikation med et vilkårligt tal ikke ændrer processens stationaritet). Derfor kan kointegrationsvektoren parametriseres som følger . I dette tilfælde får vi kointegrationsligningen (CE) : $y_{t}=(y_{{1t}},y_{{2t}},...,y_{{kt}})^{T}$ $y_{{it}}\sim I(1)$ $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k})^{T}$ $\varepsilon _{t}=a^{T}y_{t}=\sum _{{i=1}}^{k}a_{i}y_{{it}}$ $\varepsilon _{t}\sim I(0)$ $-en$ $a=(1,-a_{2},-a_{3},...,-a_{k})^{T}$

$y_{{1t}}=\sum _{{i=2}}^{k}a_{i}y_{{it}}+\varepsilon _{t}~,~~~\varepsilon _{t}$ -stationær proces

Kointegrationsligningen for ikke-stationære serier er en analog til regressionsmodellen for stationære serier.

kointegrationsrum. Kointegrationsrangering

Det er også indlysende, at hvis der er flere kointegrerende vektorer, så vil en vilkårlig lineær kombination af disse vektorer også være en kointegrerende vektor (da en lineær kombination af stationære serier også er en stationær serie). I overensstemmelse hermed taler man om rummet af kointegrerende vektorer - det kointegrerende rum . Dimensionen af dette rum kaldes kointegrationsrangen . Rangen af kointegration er faktisk det maksimale antal lineært uafhængige kointegrationsvektorer eller kointegrationsligninger. Hvis graden af kointegration er lig med antallet af tidsserier, så er disse tidsserier stationære. En nul kointegrationsrang betyder ingen kointegration.

Hvis tidsserierne er kointegreret, så for sådanne serier kan kointegrationsligningen estimeres ved den sædvanlige mindste kvadraters metode. I dette tilfælde opnås ikke kun konsistente estimater (som i tilfældet med klassisk regression), men superkonsistente estimater af modelparametrene (en signifikant højere grad af konvergens til den sande værdi med en stigning i stikprøvestørrelsen). I mangel af kointegration kan konstruktionen af regressionsmodeller af ikke-stationære (integrerede) tidsserier indbyrdes føre til falsk regression . Dette skyldes, at i det generelle tilfælde (når der ikke er nogen kointegration) er en tilfældig fejl i en regressionsmodel svarende til kointegrationsligningen ikke en stationær proces. Dette betyder, at de resulterende estimater af parametrene for sådanne modeller, såvel som estimater af de statistiske karakteristika af disse estimater af modellernes parametre, kan være partiske, inkonsistente og ineffektive. Derfor kan man ifølge stikprøvestatistikker lave en forkert antagelse om tilstedeværelsen af en forbindelse, hvor der faktisk ikke er nogen.

Generalisering

Begrebet kointegration indrømmer følgende generalisering. Lad være tidsserier, som hver især er en integreret proces af orden p, dvs. Så kaldes disse tidsserier kointegrerede af orden p, q (skrevet ), hvis der eksisterer en vektor, der ikke er nul, således at den lineære kombination er en proces . Den klassiske definition af kointegration er et særligt tilfælde for , dvs. $y_{t}^{i},i=1..k$ $y_{t}^{i}\sim I(p)$ $y_{t}\sim CI(p,q)$ $-en$ $a^{T}y$ $I(pq),~0<q\leqslant p$ $p=q=1$ $CI(1,1)$

Angle-Granger test

Testen er baseret på en kointegrationsligning estimeret ved hjælp af den sædvanlige mindste kvadraters metode . Ideen med testen er, at hvis resterne af denne model er ikke-stationære (har en enhedsrod ), så er der ingen tidsseriekointegration. Nulhypotesen er fraværet af kointegration, det vil sige tilstedeværelsen af en enhedsrod i modellens fejl (kointegrationsligning). For at teste enhedsrodhypotesen bruges statistikken for den udvidede Dickey-Fuler-test , men i modsætning til det klassiske tilfælde af denne test, i dette tilfælde er de kritiske værdier af statistikken forskellige, de er større i absolut værdi . Kritiske værdier opnås af McKinnon og Davidson gennem simulering . De 1% asymptotiske (uendelig stikprøvestørrelse) kritiske statistiske værdier er givet nedenfor som et eksempel.

Modeltype\Antal variabler	2	3	fire	5	6
Model med en konstant	-3,90	-4,29	-4,64	-4,96	-5,25
Model med konstant og trend	-4,32	-4,66	-4,97	-5,25	-5,52

Johansens tilgang

For enkelte ligninger består integrationstest i at kontrollere ligheden af tilstedeværelsen af enhedsrødder i den tilsvarende autoregression. I tilfælde af kointegration kan vektor autoregression spille en lignende rolle . Generelt er proceduren for test af kointegration som følger. Vektormodellen for autoregression VAR(p) tages i betragtning

$y_{t}=\sum _{{i=1}}^{p}A_{i}y_{{ti}}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}$

Denne model kan repræsenteres som en vektorfejlkorrektionsmodel (VEC, Vector Error Correction)

$\vartriangle y_{t}=\Pi y_{{t-1}}+\sum _{{j=1}}^{{p-1}}\Gamma _{j}\vartriangle y_{{tj}} +Bx_{t}+\varepsilon _{t}~,~\Pi =\sum _{{i=1}}^{p}A_{i}-I~,~\Gamma _{j}=-\ sum _{{i=j+1}}^{p}A_{i}$

Abstraktion fra de eksogene variable x viser denne repræsentation, at hvis de første forskelle i rækken er stationære ved antagelse, så skal - også være stationære. Ifølge Granger-repræsentationssætningen, hvis kointegrationsrangen er mindre end antallet af variable, kan matrixen P repræsenteres som et produkt af to matricer , hvor den anden matrix er matrixen af kointegrerende vektorer. Matrixens rang bestemmer kointegrationens rang. Johansen viste, at problemet med at finde parametrene svarer til problemet med at finde egenvektorerne for en bestemt matrix. For at teste kointegrationsrangen bruges sandsynlighedsforholdstesten, hvis statistik i dette tilfælde er reduceret til en funktion af egenværdierne af denne matrix. Nulhypotesen er at antage, at kointegrationsrangen er lig med den givne værdi af r. Den alternative hypotese i Johansens tilgang er, at kointegrationsrangen er større end den givne. Den tilsvarende LR-statistik er ( sporstatistik ) $y_{t}$ $\Pi y_{{t-1}}$ $\alpha \beta ^{T}$ $\Pi$ $\beta$

$LR_{r}^{{tr}}=n\sum _{{i=r+1}}^{p}\ln(1-\lambda _{i})$

hvor -i-største egenværdi af en bestemt matrix. $\lambda _{i}$

Johansens sekventielle procedure er at begynde at teste hypotesen fra rang 0 til rang k-1. Hvis hypotesen ikke forkastes for rang 0, anses rangeringen for nul (ingen kointegration). Og så videre op til k-1. I sidstnævnte tilfælde er den alternative hypotese, at de originale serier er stationære.

Det er også muligt at teste nulhypotesen mod alternativet, at rangen er én mere end nulhypotesen. I dette tilfælde anvendes statistikken for den maksimale egenværdi

$LR_{r}^{{max}}=n\ln(1-\lambda _{{r+1}})$

Fordelingen af LR-statistikken afhænger af tilstedeværelsen af deterministiske tendenser i dataene og i kointegrationsligningen. Derfor bør du teste for flere muligheder: der er ingen deterministiske tendenser i dataene (hverken en konstant og en trend er inkluderet i CE, eller kun en konstant er inkluderet), dataene har en lineær deterministisk trend (i CE en konstant uden en trend eller en konstant og en trend), har dataene en kvadratisk trend (i CE er en konstant og en lineær trend inkluderet).

Se også

Granger test for årsagssammenhæng

Litteratur

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. Indledende kursus. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Økonometri. Introduktion til tidsserieregressionsanalyse . - M. , 2002. - 273 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 125567779 GND : 4347470-6 J9U : 987007561289705171 LCCN : sh95008552