Kohomologi af skiver

Sheaf cohomologier er resultatet af at bruge homologisk algebra til at studere globale sektioner af skiver . Groft sagt beskriver sheaf-kohomologier hindringer for en global løsning af et geometrisk problem, når det kan løses lokalt.

Skive, sheaf-kohomologier og spektralsekvenser blev opfundet af Jean Leray, mens han var i en krigsfangelejr i Østrig . [1] Lerays definitioner blev forenklet og præciseret i 1950'erne. Det blev klart, at sheaf cohomology ikke kun er en ny tilgang til konstruktionen af kohomologiteori i algebraisk topologi , men også en kraftfuld metode til kompleks analytisk geometri og algebraisk geometri . I disse områder er det ofte nødvendigt at konstruere globalt definerede funktioner med givne lokale egenskaber, og sheaf cohomology er velegnet til sådanne problemer. Mange tidligere resultater, såsom Riemann-Roch-sætningen og Hodge-sætningen , er blevet generaliseret og bedre forstået takket være kohomologien af skiver.

Definition

Kategorien af skiver af Abelske grupper på et topologisk rum X er en Abelsk kategori , så det giver mening at spørge, hvornår en hylstermorfisme f: B → C er injektiv ( monomorfisme ) eller surjektiv ( epimorfi ). Et muligt svar er, at f er injektiv (henholdsvis surjektiv), hvis og kun hvis den inducerede laghomomorfi B x → C x er injektiv (henholdsvis surjektiv) for hvert punkt x i X . Det følger heraf, at f er injektiv, hvis og kun hvis homomorfi B ( U ) → C ( U ) af sektionsgrupper over U er injektiv for hvert åbent sæt U i X. Situationen med surjektivitet er mere kompliceret: en morfisme f er surjektiv, hvis og kun hvis der for hvert åbent sæt U i X , hver sektion s af arket C over U og hvert punkt x i U eksisterer et åbent naboskab V af punkt x i U , således at s , begrænset til V , er billedet af en del af B over V.

Følgende spørgsmål opstår: for en given måling f: B → C og en sektion s af bunken C over X , når s er billedet af sektionen B over X ? Dette er modellen for alle globale spørgsmål inden for geometri. Sheaf-kohomologier giver et tilfredsstillende generelt svar. Lad nemlig A være kernen i operationen B → C inkluderet i den korte nøjagtige sekvens

0\to A\to B\to C\to 0

skiver på X . Så er der en lang nøjagtig rækkefølge af Abelske grupper kaldet sheaf cohomology grupper:

0\til H^{0}(X,A)\til H^{0}(X,B)\til H^{0}(X,C)\til H^{1}(X, A)\to \cdots ,

hvor H 0 ( X , A ) er gruppen A ( X ) af globale sektioner af A over X . For eksempel, hvis gruppen H 1 ( X , A ) er nul, så indebærer denne nøjagtige sekvens, at hver global sektion C løfter sig til en global sektion B. Mere generelt gør denne nøjagtige sekvens studiet af højere kohomologigrupper til det vigtigste værktøj til at forstå sektioner af sarve.

Definitionen af kohomologi af skiver givet af Grothendieck og nu standard bruger sproget for homologisk algebra. Hans væsentlige pointe er at fiksere et topologisk rum X og tænke på kohomologi som en funktionær fra bunker af Abelske grupper på X til Abelske grupper. Betragt nemlig funktoren E ↦ E ( X ) fra skiver af Abelske grupper på X til Abelske grupper. Denne funktion er venstre nøjagtig , men ikke højre nøjagtig generelt. Grupperne H i ( X , E ) for heltal j er defineret som højre afledte funktorer af funktoren E ↦ E ( X ). Dette indebærer automatisk, at H i ( X , E ) er lig med nul for i < 0, og at H 0 ( X , E ) er gruppen af globale sektioner af E ( X ).

Definitionen af afledte funktorer bruger det faktum, at der er nok injektionsobjekter i kategorien af skiver af Abelske grupper på et vilkårligt topologisk rum X ; med andre ord, for ethvert hylster E eksisterer der en injektiv gren I og en indsprøjtning E → I . [2] Dette indebærer, at enhver bunke E har en injektiv opløsning :

0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .

Kohomologigrupperne i skjoldet H i ( X , E ) er kohomologigrupperne (kernen af homomorfien modulo billedet af den tidligere homomorfi) af følgende kompleks af Abelske grupper:

0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .

Det er bevist af standard homologiske algebra-argumenter , at disse kohomologigrupper ikke afhænger af valget af den injektive opløsning E.

Denne definition bruges sjældent direkte til at beregne kohomologien af skiver. Den er imidlertid kraftfuld, fordi den fungerer i stor udstrækning (en hvilken som helst bunke på ethvert topologisk rum), og formelle egenskaber ved cohomolgy-skiver, såsom den lange nøjagtige sekvens ovenfor, følger let af den. For særlige klasser af rum eller skiver er der mange værktøjer til beregning af kohomologi, hvoraf nogle er beskrevet nedenfor.

Kohomologi med konstante koefficienter

For et topologisk rum X og en Abelsk gruppe A er den konstante række A X rækken af lokalt konstante funktioner med værdier i A . Kohomologigrupperne af skiver H j ( X , A X ) betegnes ofte blot som H j ( X , A ), medmindre dette forårsager forveksling med andre former for kohomologi, såsom singular kohomologi . Sheaf kohomologi med konstante koefficienter danner en kontravariant funktion fra topologiske rum til abelske grupper.

For alle mellemrum X og Y og en abelsk gruppe A inducerer de homotopiske kort f og g fra X til Y de samme kohomomorfismer: [3]

f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\til H^{j}(X,A).

Det følger heraf, at homotopisk ækvivalente rum har isomorfe sheaf-kohomologier med konstante koefficienter.

Lad X være et parakompakt Hausdorff-rum , der er lokalt kontraherbart, i den forstand, at hvert åbent kvarter U af et vilkårligt punkt x indeholder et åbent kvarter V af x , således at inklusion V → U er homotop til et konstant kort. Så er singulære kohomologi af X med koefficienter i en Abelsk gruppe A isomorf til kohomologien af skiverne H *( X , A X ). Dette gælder især, hvis X er en topologisk manifold eller et CW-kompleks .

Træge og bløde bundter

En bunke af Abelske grupper E på et topologisk rum X kaldes acyklisk , hvis H j ( X , E ) = 0 for alle j > 0. Det følger af den lange nøjagtige sekvens af kohomologi af skiver, at kohomologien af enhver hylster kan beregnes ved at bruge en acyklisk opløsning (i stedet for en injektiv opløsning). Injektive skiver er acykliske, men det er nyttigt til beregninger at have andre eksempler på acykliske skiver.

En bunke E på X kaldes slap , hvis en sektion af E på en åben delmængde af X kan udvides til en sektion på hele X. Slappe skiver er acykliske. [4] Godemann definerede kohomologien af skiver ved hjælp af den såkaldte kanoniske opløsning , bestående af slappe skiver. Da slappe skiver er acykliske, stemmer Godements definition overens med definitionen ovenfor. [5]

Et ark E på et parakompakt Hausdorff-rum X kaldes blødt , hvis en del af begrænsningen af E til en lukket delmængde af X kan udvides til en del af E på hele X. Bløde skiver er acykliske. [6]

Et eksempel på en blød bunke er bunken af reelt værdifulde kontinuerte funktioner på et parakompakt Hausdorff-rum, og bunken af glatte ( C∞ ) funktioner på en glat manifold . Mere generelt er en hvilken som helst bunke af moduler over en blød bunke af kommutative ringe f.eks. blød. bunken af glatte sektioner af et vektorbundt over en glat manifold er blød.

Disse resultater er især en del af beviset for de Rhams sætning . For en glat manifold X angiver Poincaré-lemmaet , at de Rham-komplekset er opløsningsmidlet af den konstante bunke R X :

0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,

hvor Ω X j er en blyant af glatte differentiale j -former og afbildningen Ω X j → Ω X j +1 er den ydre differentiale d . Det følger af ovenstående resultater, at skiverne Ω X j er bløde og derfor acykliske. Det følger af dette, at sheaf-kohomologien X med reelle koefficienter er isomorf til de Rham-kohomologien X , defineret som kohomologien af komplekset af reelle vektorrum :

0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .

Den anden del af de Rhams sætning identificerer sheaf og singular cohomology X med reelle koefficienter: dette er sandt i større almindelighed, som diskuteret ovenfor .

Cech kohomologi

Cech cohomology er en tilnærmelse til sheaf cohomology, ofte nyttig til beregning. Nemlig, lad være en åben dækning af rummet X ved parvis adskilte sæt , og være en bunke på X . Lad os betegne . En cochain forbinder et ordnet sæt med et element . En coboundary homomorfi er defineret af formlen ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}$ $U_{\alpha }$ $E$ $U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{k}}=U_{\alpha _{0}}\cap \ldots U_{\alpha _{k}}$ $c^{k}\in C^{k}({\mathcal {U)),E)$ $U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k))$ $c^{k}(U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k)))\in E(U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{ k))$

(\delta c^{k})(U_{\alpha _{0)),\ldots ,U_{\alpha _{k+1)))=\sum _{i=0}^{k +1}(-1)^{i}c^{k}(U_{\alpha _{0)),\ldots {\hat {U))_{\alpha _{i)),\ldots U_{ \alpha _{k+1)))|_{U_{\alpha _{0}\ldots \alpha _{k+1}}}.

Et simpelt standardtjek viser det . Dette giver os mulighed for at definere kohomologigruppen , Cech-kohomologien af en belægning med koefficienter i skæret . [7] $\delta \delta =0$ $H^{k}({\mathcal {U)),E)$ ${\mathcal {U}}$ $E$

Der er en naturlig homomorfi . Således er Cech-kohomologi en tilnærmelse til sheaf-kohomologi, der kun bruger snit ved endelige skæringspunkter mellem åbne sæt . $H^{j}({\mathcal {U)),E)\to H^{j}(X,E)$ $E$ $U_{\alpha }$

Hvis et endeligt skæringspunkt V af åbne mængder ikke har nogen højere kohomologi med koefficienter i E . i den forstand, at H j ( V , E ) = 0 for alle j > 0, så er en homomorfi fra Cech kohomologi til sheaf kohomologi en isomorfi. [otte] $U_{\alpha }$ $H^{j}({\mathcal {U)),E)$

En anden tilgang til at relatere Cech cohomology til sheaf cohomology er som følger. Cech-kohomologigrupperne er defineret som den direkte grænse over alle åbne dæksler (hvor dækslerne er ordnet med hensyn til "være et underdæksel "). Der er en homomorfi fra Cech-kohomologien til sheaf-kohomologien, som er en isomorfi for j ≤ 1. For vilkårlige topologiske rum kan Cech-kohomologien afvige fra sheaf-kohomologien til højere grader. Men de er isomorfe for enhver bunke på et parakompakt Hausdorff-rum. [9] ${\check {H}}^{j}(X,E)$ $H^{j}({\mathcal {U)),E)$ ${\mathcal {U}}$ ${\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)$

Noter

↑ Miller, Haynes. "Leray in Oflag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences" Arkiveret 9. september 2006 på Wayback Machine , 2000.
↑ Iversen, 1986 , Sætning II.3.1.
↑ Iversen, 1986 , Sætning IV.1.1.
↑ Iversen, 1986 , Sætning II.3.5.
↑ Iversen, 1986 , Sætning II.3.6.
↑ Bredon, 1988 , Sætning II.9.8.
↑ Prasolov, 2006 , s. 286-287.
↑ Godeman, 1961 , afsnit II.5.4.
↑ Godeman, 1961 , afsnit II.5.10.

Litteratur

G. E. Bredon. Teori for bjælker / pr. fra engelsk. udg. E. G. Sklyarenko. — M .: Nauka, 1988.
R. Godeman. Algebraisk topologi og teori om skiver. — M .: IN, 1961.
V.V. Prasolov. Elementer af homologiteori. — M. : MTsNMO, 2006.
R. Hartshorne. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Iversen, Birger. Cohomology of Sheaves. - Springer-Verlag, 1986. - ISBN 978-3-540-16389-3 .
Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique // Tôhoku Mathematical Journal. — Bd. 9, nr. 2 . — S. 119–221.