Integrale transformationer

Et af de mest kraftfulde midler til at løse differentialligninger, både almindelige og især i partielle derivater , er metoden til integraltransformationer . Fourier, Laplace, Hankel og andre transformationer bruges til at løse problemer i teorien om elasticitet , termisk ledningsevne , elektrodynamik og andre dele af matematisk fysik . Brugen af integraltransformationer gør det muligt at reducere en differential-, integral- eller integro-differentialligning til en algebraisk , og også, i tilfælde af en partiel differentialligning, at reducere dimensionen af .

Integrale transformationer er givet ved formlen

Tf(u)=\int \limits _{{S}}K(t,u)\,f(t)\,dt

hvor funktionerne kaldes henholdsvis originalen og billedet og er elementer i et eller andet funktionsrum , mens funktionen kaldes kernen af integraltransformationen. $f,Tf$ $L$ $K$

De fleste integrerede transformationer er reversible, det vil sige fra et kendt billede kan originalen gendannes, ofte også ved en integral transformation:

f(t)=\int \limits _{{S'}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du.

Selvom egenskaberne ved integrerede transformationer er ret omfattende, har de ret meget til fælles. For eksempel er enhver integral transformation en lineær operator .

Transformationstabel (endimensionelt kasus)

Hvis integraltransformationen og dens inversion er givet af formlerne

Tf(u)=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}K(t,u)\,f(t)\,dt

f(t)=\int \limits _{{u_{1}}}^{{u_{2}}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\, du

derefter:

Tabel over integrerede transformationer (endimensionelt tilfælde)

transformation	Betegnelse	$K$	t1 _	t2 _	$K^{{-1}}$	u 1	u 2
Fourier transformation	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{{-iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$
Sinus Fourier Transform	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Cosinus Fourier Transform	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Hartley transformation	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$
Mellin transformation	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$	$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Bilateral Laplace transformation	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Laplace transformation	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}$	$0$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Weierstrass transformation	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(ut)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+(ut)^{2}/4))}{i{\sqrt {4\pi ))))$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Hankel transformation		$t\,J_{\nu}(ut)$	$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu}(ut)$	$0$	$\infty$
Abel integral transformation		${\frac {2t}{{\sqrt {t^{2}-u^{2))))}$	$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2))))}{\frac {d}{du))$	$t$	$\infty$
Hilbert transformation	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$	$-{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$
Poisson kerne		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0$	$2\pi$
Identisk transformation		$\delta (ud)$	$t_{1}<u$	$t_{2}>u$	$\delta (tu)$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

Liste over integrerede transformationer

Litteratur

Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Integrale transformationer og operationel beregning. —M.: Fizmagiz, 1961.

Se også

Diskrete transformationer

Links

Tabeller over integrerede transformationer på EqWorld: DE MATEMATISKE LIGNINGERS VERDEN.

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation