Induceret topologi

Induceret topologi er en naturlig måde at definere en topologi på en delmængde af et topologisk rum.

Definition

Lad et topologisk rum være givet , hvor er et vilkårligt sæt og er en topologi defineret på . Lad også . Vi definerer en familie af delmængder som følger: $(X,\;\mathcal{T})$ $x$ $\mathcal{T}$ $x$ $Y\undersæt X$ ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$

{\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.

Det er nemt at tjekke, hvad topologien er på . Denne topologi kaldes den inducerede topologi . Et topologisk rum kaldes et underrum . ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$ $\mathcal{T}$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $(X,\;\mathcal{T})$

Denne konstruktion kan generaliseres. Lad være en vilkårlig mængde, være et topologisk rum, og være en vilkårlig kortlægning i . Så tager vi som muligt alle mulige sæt af formen ( ), hvor er åbne sæt i . Topologien kaldes den kortlægningsinducerede topologi. Det er godt, fordi visningen i denne topologi automatisk bliver kontinuerlig. Det er det svageste (det indeholder færrest sæt) af alle mulige rumtopologier , for hvilke kortlægningen vil være kontinuerlig. $x$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $f:X\til Y$ $x$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f^{-1}$ $V$ $V$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f$ $f$ $x$ $f$

Eksempel

Lad en reel linje med standardtopologi gives . Så er topologien induceret sidst på mængden af alle naturlige tal diskret . $\mathbb {R}$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$