Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π | |
Notation | Skøn over tallet Φ |
Decimal | 1,6180339887498948482… |
Binær | 1.1001111000110111011… |
Hexadecimal | 1.9E3779B97F4A7C15F39… |
Sexagesimal | en; 37 04 55 20 29 39 … |
Rationelle Approksimationer | 3/2 ; _ _ 5/3 ; _ _ 8/5 ; _ _ 13/8 ; _ _ 21/13 ; _ _ 34/21 ; _ _ 55/34 ; _ _ 89/55 ; _ _ …
, hvor er Fibonacci-tallene (angivet i rækkefølge efter stigende nøjagtighed) |
Fortsat brøkdel |
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 78780178 89 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 356213
De første tusinde tegn i værdien Φ [1] .Det gyldne snit ( gyldne proportion , ellers: division i ekstrem- og gennemsnitsforhold , harmonisk opdeling ) er det bedste, unikke forhold mellem dele og helhed, hvor forholdene mellem delene og hinanden og hver del til helheden er lige store . Sådanne forhold observeres i naturen, i videnskab og kunst. Forskellige systemer og metoder til proportionering i arkitektur er baseret på de "gyldne segmenter". Forholdet mellem to mængder og , hvor den største værdi relaterer sig til den mindre på samme måde som summen af disse mængder til den større, det vil sige: er universel. Deraf navnet, der først dukkede op i renæssancen , især i afhandlingen om franciskanermunken, matematikeren Luca Pacioli Divine Proportion ( Latin De Divina Proportione (1509), men mønsteret af sådanne forhold var kendt meget tidligere: i det gamle Mesopotamien, Egypten og det antikke Grækenland.
Historisk set i oldgræsk matematik var det gyldne snit opdelingen af et segment med et punkt i to dele, så den største del er relateret til den mindre, da hele segmentet er relateret til den større : . Dette koncept er blevet udvidet til at omfatte vilkårlige mængder.
Et tal, der er lig med forholdet , betegnes normalt med et græsk stort bogstav ( phi ), til ære for den antikke græske billedhugger og arkitekt Phidias [2] , sjældnere med et græsk bogstav ( tau ).
Ud fra den oprindelige lighed (for eksempel ved at tage a / b for den ukendte variabel x og løse den resulterende ligning ), er det ikke svært at opnå, at tallet
Det gensidige af et tal, angivet med et lille bogstav [2] ,
Derfor følger det
.Nummeret kaldes også for gyldne tal .
Af praktiske årsager er de begrænset til en omtrentlig værdi på = 1,618 eller = 1,62. I en afrundet procentværdi er det gyldne snit opdelingen af værdien i forhold til 62 % og 38 %.
Det gyldne snit har mange bemærkelsesværdige egenskaber (for eksempel Φ 2 = Φ + 1), men derudover tilskrives det mange fiktive egenskaber [3] [4] [5] .
I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, findes opdelingen af segmentet i ekstrem- og gennemsnitsforholdet ( ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) først i Euklids Elementer (ca. 300 f.Kr.), hvor det bruges til at konstruere en regulær femkant [6] .
Luca Pacioli , en samtidig og ven af Leonardo da Vinci , så i dette forhold den "guddommelige essens", der udtrykker treenigheden af Gud Faderen, Sønnen og Helligånden [7] .
Det vides ikke præcist, hvem og hvornår der præcist opfandt udtrykket "gyldne snit". På trods af at nogle autoritative forfattere tilskriver udseendet af dette udtryk til Leonardo da Vinci i det 15. århundrede [8] eller tilskriver udseendet af dette udtryk til det 16. århundrede [9] , findes den tidligste brug af dette udtryk hos Martin Ohm i 1835, nemlig i en fodnote til anden udgave af hans bog Pure Elementary Mathematics [10] , hvor Ohm skriver, at dette afsnit ofte kaldes det gyldne snit (den tyske goldener Schnitt ). Det følger af teksten i denne note, at Ohm ikke selv opfandt udtrykket [11] [12] , selvom nogle forfattere hævder andet [13] . Men baseret på det faktum, at Ohm ikke længere brugte udtrykket i den første udgave af sin bog [14] , konkluderer Roger Hertz-Fischler, at dette udtryk kan være opstået i den første fjerdedel af det 19. århundrede [15] . Mario Livio mener, at det vandt popularitet i mundtlig tradition omkring 1830. [16] Under alle omstændigheder var det efter Ohm, at udtrykket blev udbredt i den tyske matematiske litteratur [17] .
Det gyldne tal optræder i forskellige problemer, herunder fysik. For eksempel har det uendelige elektriske kredsløb vist på figuren en total modstand (mellem de to venstre ender) Ф r .
Der er oscillerende systemer, hvis fysiske karakteristika ( frekvensforhold , amplituder osv.) er proportionale med det gyldne snit. Det enkleste eksempel er et system af to kugler forbundet i serie af fjedre med samme stivhed (se figur). [20] .
Mere komplekse eksempler på mekaniske vibrationer og deres generaliseringer diskuteres i denne[ præciser ] samme bog, i kapitlet "Generaliseringer af et simpelt problem i mekanik". Bogen giver mange eksempler på manifestationen og anvendelsen af det gyldne snit inden for forskellige områder af videnskaben - himmelmekanik , fysik , geofysik , biofysik , fysisk kemi , biologi , fysiologi .
Det gyldne snit er tæt forbundet med femte-ordens symmetri , hvoraf de mest berømte tredimensionelle repræsentanter er dodecahedron og icosahedron . Det kan siges, at hvor end dodecahedron, icosahedron eller deres derivater optræder i strukturen, vil det gyldne snit også optræde i beskrivelsen. For eksempel i rumlige grupperinger fra Bor: V-12, V-50, V-78, V-84, V-90, ..., V-1708, som har icosahedral symmetri [21] . Et vandmolekyle , hvor divergensvinklen for H-O-bindinger er 104,7 0 , det vil sige tæt på 108 grader (vinklen i en regulær femkant ), kan kombineres til flade og tredimensionelle strukturer med femteordens symmetri. Således blev H + (H 2 0) 21 fundet i et forsælnet plasma , som er en H 3 0 + ion omgivet af 20 vandmolekyler placeret ved hjørnerne af dodekaederet [22] . I 1980'erne blev der opnået clathratforbindelser indeholdende et calciumhexaaqua-kompleks omgivet af 20 vandmolekyler placeret ved hjørnerne af et dodekaeder [23] . Der findes også klatratmodeller af vand, hvor almindeligt vand delvist består af vandmolekyler forbundet i strukturer med femteordens symmetri. Sådanne strukturer kan bestå af 20, 57, 912 vandmolekyler [24] .
Nogle af udsagn i beviset for hypotesen om viden om reglerne i det gyldne snit af de gamle:
Begyndende med Leonardo da Vinci brugte mange kunstnere bevidst "gyldne snit"-proportioner. Den russiske arkitekt I. V. Zholtovsky brugte det gyldne snit i sine projekter [25] . Johann Sebastian Bach brugte i sin tredelte Opfindelse E-dur nr. 6 BWV 792 en todelt form, hvor forholdet mellem delenes størrelse svarer til det gyldne snits proportioner. 1. sats - 17 takter, 2. sats - 24 takter .
Moderne eksempler på anvendelsen af det gyldne snit er Penrose-fliser og proportionerne af Togos nationale flag .
Levende systemer har også egenskaber, der er karakteristiske for det "gyldne snit". For eksempel: kropsproportioner, spiralstrukturer eller parametre for biorytmer [26] osv.
Ordbøger og encyklopædier | ||||
---|---|---|---|---|
|
Irrationelle tal | ||
---|---|---|
| ||
gyldne snit | ||
---|---|---|
"Gyldne" figurer | ||
Andre afsnit |
| |
Andet |