Stjerne Hodge

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Hodge-stjernen er en vigtig lineær operator fra rummet af q - vektorer til rummet af ( n − q )-former . Den metriske tensor definerer en kanonisk isomorfi mellem rummene af q - former og q -vektorer, så sædvanligvis er Hodge-stjernen en operator fra rummet af differentielle former af dimension q til rummet af former for dimension n − q.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\til \Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Denne operatør blev introduceret af William Hodge .

Definition

Hjælpedefinitioner

Bestem formen på volumenet

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

hvor er en ikke-negativ skalar på manifolden og er et fuldstændig antisymmetrisk symbol på . . Selv i mangel af en metrisk, hvis , er det muligt at bestemme de modstridende komponenter i volumenformen. $f(X):M\to {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

her matcher det antisymmetriske symbol . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

Ved tilstedeværelse af en metrik med hævede indekser kan den afvige fra ved fortegn: . Her og længere $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\check {\Omega ))$ $\sigma =\operatørnavn{sgn} \det(g_{{mk}})$

Vi introducerer driften af antisymmetrisering :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operatørnavn{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Summeringen udføres over alle permutationer af indeksene omgivet af firkantede parenteser, under hensyntagen til deres paritet . Antisymmetriseringen af øvre indeks er defineret på samme måde; det er kun muligt at antisymmetrisk over en gruppe af indekser af samme type. Eksempler: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operatørnavn{sgn}(\sigma )

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Lad os beskæftige os med foldningsoperationen nu. Når du folder et sæt antisymmetriske indekser, er det praktisk at introducere følgende notation:

A^{{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots}}{}_{{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Hvis tensoren er antisymmetrisk i både øvre og nedre kollapsende indeks, er det muligt kun at summere over indeksene i parentes over ordnede sæt uden at dividere med , dette skyldes det faktum, at forskellige sæt af indekser , der kun adskiller sig i rækkefølgen af indeksene giver samme bidrag til summen. $\lgulv\;\rgulv$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Vi definerer nu tensorer:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\ldots N_{p }}}=A_{{\lgulv K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}B^{{\lfloor K_{1}\ldots K_ {k}\rgulv N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\understreget {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\ldots M_{{qk}}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}B^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }\lgulv K_{1}\ldots K_{k}\rgulv }}

Indekset (k) angiver antallet af indekser, over hvilke foldningen blev udført. Hvor dette ikke kan føre til tvetydighed, vil (k) blive udeladt. Ovenstående tensorer kan afvige (eller kan ikke afvige) kun ved tegn.

Generel definition af en Hodge-stjerne

Ved at bruge volumenformen og polyvektoren kan vi introducere en operation , der transformerer en polyvektor af en grad til en differentialform af en grad , og en invers operation , der transformerer en form af en grad til en polyvektor af en grad $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $*$ $B$ $s$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $EN$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{\understreget {(q)))}

Denne operation kaldes Hodge-stjernen eller Hodge- dualiteten . I komponenter ser det sådan ud:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Siden og , har vi etableret en en-til-en overensstemmelse mellem differentielle former for grad q og polyvektorer af grad nq $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Ud over operatørerne og introducerer vi et par operatører: og , som adskiller sig fra dem i fortegn. $*$ $*^{{-1}}$ ${\kontrollere {*}}$ ${\check {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\underline {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Hodges stjerne i nærværelse af metrikken

Lad en metrik gives på vores mangfoldighed af dimension n . Lad os betegne . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

Volumenelementet eller volumenformen , der genereres af metrikken $g_{{mk}}$ , er formularen In-komponenter: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Da vi har en metrik, kan vi lave en kanonisk isomorfi mellem polyvektorer og differentialformer:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Derfor kan vi etablere en en-til-en overensstemmelse mellem q-former og (nq)-former. $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Yderligere operatører

På polyvektorer kan du introducere operatøren for at tage divergensen , som reducerer graden af polyvektor med 1:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

I tilstedeværelsen af en metrisk udtrykkes divergensoperatoren i form af den kovariante afledte operator , defineret ved hjælp af en symmetrisk forbindelse, der stemmer overens med metrikken : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\understreget {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\partial _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Nogle gange kaldes operationen ( ydre afledet ) gradienten af differentialformer, og operationen kaldes divergens. For en 1-form definerer operationen den sædvanlige divergens (i nærvær af en metrisk identificeres differentialformerne og polyvektoren ved hjælp af den kanoniske isomorfi ) $d$ $\delta$ $\delta$

-formens Laplacian er givet af : $\Delta$ $q$ $EN$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

For en skalar (0-form) er Laplacian Laplace-Beltrami-operatøren :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\partial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\partial _{N}\varphi

Til skalar . Hvis , så ifølge Bochner-formlen for en vilkårlig metrisk i , vises yderligere udtryk, der er lineære i krumning. Så i tilfælde af $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

hvor er Ricci-tensoren konstrueret ud fra en symmetrisk forbindelse i overensstemmelse med metrikken. $R_{K}{}^{M}$

Kilder

Forelæsninger af M. G. Ivanov om kurset "Geometriske metoder i klassisk feltteori". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html