Ladning (målteori)

Ladning er en finitely additiv sætfunktion defineret på en eller anden -algebra (f.eks. Borel-delmængder ). $\sigma$

I modsætning til det sædvanlige mål, som normalt forstås som en ikke-negativ mængdefunktion, kan ladningen også have negative værdier.

Sættet af alle ladninger over et vilkårligt sæt med en sigma-algebra er normalt betegnet med . $x$ $\Sigma$ $\operatørnavn {ba} (X,\;\Sigma )$

Relaterede definitioner

En positiv ladning kaldes rent endeligt additiv, hvis det for enhver ikke-negativ tællelig additiv måling følger , at . $\nu \i \operatørnavn {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- En vilkårlig ladning er rent endelig additiv, hvis sådanne er ladningerne og . $\nu ^{+}$ $\nu ^{-}$
En afgift er absolut kontinuerlig med hensyn til en foranstaltning if $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Egenskaber

Mættet af alle ladninger danner et normaliseret gitter og endda desuden et -mellemrum. $K$
For enhver ladning er der en positiv del og en negativ del . Der er en Hahn-Jordan-udvidelse , i kraft af hvilken ladningers egenskaber kan udtrykkes i form af måleteori. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Lad . Enhver ladning kan entydigt repræsenteres som en sum , hvor er absolut kontinuerlig med hensyn til og disjunktiv . En sådan repræsentation af foranstaltningen kaldes Lebesgue-udvidelsen. $\mu \in \operatørnavn {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Enhver ladning kan entydigt repræsenteres som en sum , hvor er et vilkårligt tælleligt additivt mål og er en vilkårlig rent endeligt additiv ladning. Denne nedbrydning kaldes nogle gange Yosida-Hewitt-nedbrydningen . $\nu \i \operatørnavn {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ ${\displaystyle \nu _{ca))$ $\nu _{pfa}$
Rummet er topologisk konjugeret til rummet af målbare og afgrænsede funktioner defineret over det givne målbare rum. $\operatørnavn {ba} (X,\;\Sigma )$

Historie

Udtrykket "afgift" blev først introduceret af A. D. Alexandrov . Studiet af ladning var drivkraften til udviklingen af teori om endelig additiv målestok (1940'erne).

Se også

dekomponeringssætning

Litteratur

Dunford N., Schwartz J. Lineære operatører. Generel teori. — M .: IL, 1962.
Landkof N. S. Fundamentals of modern potential theory. - M. , 1966.
Khalmosh P. Teori om foranstaltninger. // Per. fra engelsk. - M. , 1953.
Alexandroff AD Additive sæt-funktioner i abstrakte rum I // Math. samling 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Additive sæt-funktioner i abstrakte rum II // Matematik. samling 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Additive sæt-funktioner i abstrakte rum III // Matematik. samling 1943. V.13(55), N 2. S.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. amer. Matematik. soc. 1952.v. 72, nr. 1. S. 46-66.